Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром , равным 2.
1. Обозначим:
2a - основание равнобедренного треугольника;
b - боковая сторона;
h - высота, проведенная к основанию.
2. Составим уравнение для периметра треугольника:
2a + 2b = 2;
a + b = 1;
b = 1 - a.
3. Найдем высоту треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора:
a^2 + h^2 = b^2;
h^2 = b^2 - a^2 = (1 - a)^2 - a^2 = 1 - 2a + a^2 - a^2 = 1 - 2a.
h = √(1 - 2a).
4. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:
S = 1/2 * 2a * h = ah = a√(1 - 2a).
5. Найдем максимум функции f(a) = S^2:
f(a) = a^2(1 - 2a) = a^2 - 2a^3;
f'(a) = 2a - 6a^2) = 2a(1 - 3a) = 0.
a = 1/3 (см) - точка максимума, в которой f(a), а значит и S, принимает наибольшее значение.
b = 1 - a = 1 – (1/3) = (2/3) (см).
6. Стороны треугольника:
2a = 2*(1/3) = (2/3) см;
b = (2/3) см.
ответ: треугольник должен быть равносторонним.
2а=(4;6;-2)
2с=(2;0;-6)
2а-b-2c=(2;5;-12)