Вершини піраміди знаходяться у точках A, B, C і D. Обчислити: а) Довжину ребра АВ; б) Кут між ребрами АВ і АС; в) площу грані АВС; d) об'єм піраміди АБСД. A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4)
а) Умножаем 30 на 3 и к результату прибавляем 3; записываем так: 30 · 3 + 3; 30 · 3 + 3 = 90 + 3 = 93. Умножение выполняется перед сложением, поэтому заключать 30 · 3 в скобки не нужно. б) Из 120 вычитаем 60 и результат умножаем на 5; записываем так: (120 – 60) · 5; (120 – 60) · 5 = 60 · 5 = 300. Для того, чтобы вычитание выполнялось перед делением, заключаем разность (120 – 60) в скобки. в) Складываем 123 и 868 и результат делим на 2; записываем так: (123 + 868) : 2; (123 + 868) : 2 = 991 : 2 = 495,5. Так как первым должно выполняться сложение, заключаем сумму (123 + 868) в скобки. г) Делим 150 на 50 и результат умножаем на 2; записываем так: 150 : 50 · 2; 150 : 50 · 2 = 3 · 2 = 6. Деление и умножение выполняются слева направо в том порядке, как стоят в примере, поэтому заключать 150 : 50 в скобки не нужно.
а) Умножаем 30 на 3 и к результату прибавляем 3; записываем так: 30 · 3 + 3; 30 · 3 + 3 = 90 + 3 = 93. Умножение выполняется перед сложением, поэтому заключать 30 · 3 в скобки не нужно. б) Из 120 вычитаем 60 и результат умножаем на 5; записываем так: (120 – 60) · 5; (120 – 60) · 5 = 60 · 5 = 300. Для того, чтобы вычитание выполнялось перед делением, заключаем разность (120 – 60) в скобки. в) Складываем 123 и 868 и результат делим на 2; записываем так: (123 + 868) : 2; (123 + 868) : 2 = 991 : 2 = 495,5. Так как первым должно выполняться сложение, заключаем сумму (123 + 868) в скобки. г) Делим 150 на 50 и результат умножаем на 2; записываем так: 150 : 50 · 2; 150 : 50 · 2 = 3 · 2 = 6. Деление и умножение выполняются слева направо в том порядке, как стоят в примере, поэтому заключать 150 : 50 в скобки не нужно.
Вершини піраміди знаходяться у точках:
A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).
Обчислити: а) Довжину ребра АВ;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).
Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.
б) Кут між ребрами АВ і АС;
Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.
Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).
Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.
cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609
Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.
в) площу грані АВС;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =
= i j k| i j
-11 -10 -5| -11 -10
-5 -8 -3| -5 -8 = 30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =
= -10i - 8j + 38k.
Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.
Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.
d) об'єм піраміди АБСД.
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
АВ хАС = (-10; - 8; 38),
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4; -12),
|AD) = √164 ≈ 12,80625.
ABxAC = -10 -8 38
АD = -2 -4 -12
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.