Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 1000, можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность?
Все ждал пока детки добавят решение, но ладно уж, добавлю сам.
Как я понял, в условии предполагается, что числа должны быть различны, ибо возникает деление на 0.
Предположим, что в таком наборе существуют два числа a и b (a>b), разность которых равна 1, но тогда a+b делится на a-b, ибо a-b = 1.
Мы пришли к противоречию, такое невозможно.
Предположим теперь, что в таком наборе существует два числа a и b (a>b), разность которых равна 2. Два числа, разность которых равна 2 имеют одинаковую четность, а значит их сумма a+b является четной, то есть делится на их разность a-b = 2.
Мы пришли к противоречию, такое невозможно.
Таким образом, если данный набор упорядочить в порядке возрастания, то разность между соседними числами в данном наборе не менее 3.
Пусть в данном наборе n членов, тогда с учетом вышесказанного должно выполняться неравенство:
1+3(n-1) <=1000
3(n-1)<=999
n-1 <=333
n<=334
То есть в таком ряду не более 334 членов.
Покажем набор с 334 членами.
Возьмем все числа, что при делении на 3 дают остаток 1 и не более 1000:
1,4,7,10,13..., 1000 = 1+3*333 , то есть как раз 334 числа.
Возьмем любые два числа a и b (a>b) из данного набора.
Поскольку числа a и b дают при делении на 3 остаток 1, то их сумма a+b дает при делении на 3 остаток 2, то есть не делится на 3, однако их разность a-b дает при делении на 3 остаток 0, то есть делится на 3, а значит сумма a+b не может делится на разность a-b, то есть данный набор удовлетворяет условию задачи.
1. Число А заканчивается на цифру 9, число А+1 заканчивается на цифру 0. Поскольку девятка ровно одна, цифры в разряде сотен у чисел обязаны совпадать, тогда из условия следует, что они равны 2. То есть, числа выглядят как 2x9 и 2y0, где y=x+1 и либо x=2, либо y=2. Такое возможно, если x=1, y=2, либо если x=2, y=3. Значит, подойдут варианты A=219, A+1=220 и A=229, A+1=230.
2. Число А не заканчивается на цифру 9. В этом случае числа выглядят как abx и aby, где y=x+1. Поскольку девятка должна быть ровно одна, и цифра x не равна 9 по нашему предположению, получаем, что x=8, y=9. Но тогда получаем противоречие с тем, что среди шести цифр a,b,8,a,b,9 есть ровно две двойки. Таким образом, этот случай невозможен.
Таким образом, существует два числа, удовлетворяющих условию – 219 и 229. 2
«Маленький принц» - непревзойденный гимн мировосприятию ребенка, который является настоящим волшебником и властителем жизни. Действительно, взрослые забывают и теряют со временем остроту восприятия окружающего мира и чистоту впечатлений от того, что происходит. Их фантазия затиснута в суровые рамки и покрыта ледяной циничностью. И лишь ребенок на непосредственное восприятие мира и на создание собственного. Некоторые взрослые иногда встречаются со своим детством. Так случилось и в произведении Антуана де Сент-Экзюпери (во многом автобиографическом). Герой, который, пролетая на самолете над пустыней, попал в аварию, случайно в пустыне встречает удивительного мальчика - Маленького принца. Сначала мир взрослого человека и мир маленького мальчика не находят точек столкновенья и общего языка, но потом возникает диалог, и взрослый ощущает, что у него много общего с мыслями Маленького принца. Путешествуя с планеты на планету в поисках друга, принц попал на Землю и сразу встретил близкого духом человека. Важным есть то, что между незнакомыми людьми возникли взаимоотношения, состоялся диалог.
ответ: 334
Пошаговое объяснение:
Все ждал пока детки добавят решение, но ладно уж, добавлю сам.
Как я понял, в условии предполагается, что числа должны быть различны, ибо возникает деление на 0.
Предположим, что в таком наборе существуют два числа a и b (a>b), разность которых равна 1, но тогда a+b делится на a-b, ибо a-b = 1.
Мы пришли к противоречию, такое невозможно.
Предположим теперь, что в таком наборе существует два числа a и b (a>b), разность которых равна 2. Два числа, разность которых равна 2 имеют одинаковую четность, а значит их сумма a+b является четной, то есть делится на их разность a-b = 2.
Мы пришли к противоречию, такое невозможно.
Таким образом, если данный набор упорядочить в порядке возрастания, то разность между соседними числами в данном наборе не менее 3.
Пусть в данном наборе n членов, тогда с учетом вышесказанного должно выполняться неравенство:
1+3(n-1) <=1000
3(n-1)<=999
n-1 <=333
n<=334
То есть в таком ряду не более 334 членов.
Покажем набор с 334 членами.
Возьмем все числа, что при делении на 3 дают остаток 1 и не более 1000:
1,4,7,10,13..., 1000 = 1+3*333 , то есть как раз 334 числа.
Возьмем любые два числа a и b (a>b) из данного набора.
Поскольку числа a и b дают при делении на 3 остаток 1, то их сумма a+b дает при делении на 3 остаток 2, то есть не делится на 3, однако их разность a-b дает при делении на 3 остаток 0, то есть делится на 3, а значит сумма a+b не может делится на разность a-b, то есть данный набор удовлетворяет условию задачи.