Question

Преобразовать в произведение $sin(4a)-2cos^2(2a)+1$

Answer 1

$- \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} - 4 \alpha )$

помним, что:

$2 \cos^{2} ( x) - 1 = \cos(2 x )$

$\sin(x - y) = \sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y)$

преобразуем выражение:

$\sin( 4\alpha ) - \cos(4 \alpha )$

Вспомним формулу:

$\sin(x) - \cos(x ) = - \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} - x )$

Преобразуем выражение:

$\sin(4 \alpha ) - \cos( 4\alpha ) = - \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} - 4 \alpha )$

Докажем это тождество (выполним проверку):

$- \sqrt{2} ( \sin( \frac{\pi}{4} ) \cos(4 \alpha ) - \cos( \frac{\pi}{4} ) \sin(4 \alpha ) )$

т.к.

$\sin( \frac{\pi}{4} ) = \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

распределив -√(2) через скобки получим исходное равенство