Question

Распишите решение этих примеров

:3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

сначала считаем внутренний интеграл

$\displaystyle \int\limits^4_2 {xy^3} \, dy = \frac{xy^4}{4} \bigg |_2^4=60x$

теперь подставим это во внешний интеграл и посчитаем

$\displaystyle \int\limits^1_0 {60x} \, dx =60*\frac{x^2}{2} \bigg |_0^1=30$

и вот

$\displaystyle \int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^4_2 {xy^3} \, dy =30$

2)

здесь, поскольку у нас область прямоугольная задана в числах, то нам все равно в какой повторный интеграл превращать наш двойной.

например, сделаем так

$\displaystyle \iint\limits_{(S)} {(x^2+y)} \, dx dy=\int\limits^2_1 {} \, dx \int\limits^1_0 {(x^2+y)} \, dy$

считаем внутренний интеграл

$\displaystyle \int\limits^1_0 {(x^2+y)} \, dy=\bigg (x^2y+\frac{y^2}{2} \bigg ) \bigg |_0^1=x^2+\frac{1}{2}$

теперь подставим это во внешний интеграл и посчитаем его

$\displaystyle \int\limits^2_1 {\bigg (x^2+\frac{1}{2} \bigg )} \, dx =\bigg (\frac{x^3}{3} +\frac{x}{2} \bigg ) \bigg |_1^2=\frac{7}{3} +\frac{1}{2} =\frac{17}{6}$

ответ

двойной интеграл по указанной области

$\displaystyle \iint\limits_{(S)} {(x^2+y)} \, dx dy=\frac{17}{6} =2\frac{5}{6}$