В конверте 12 карточек, среди которых 4 разыскиваемых. Наудачу конверт отбирают 3 карточки. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа разыскиваемых карточек среди отобранных. ответ дать с точностью до 0,001. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что среди отобранных есть хотя одна разыскиваемая карточка.
1) Закон распределения:
Имеется 12 карточек, из которых 4 разыскиваемых. Мы отбираем наудачу 3 карточки. Закон распределения будет представлять собой таблицу с вероятностями различных значений переменной, которая в данном случае будет представлять количество разыскиваемых карточек среди отобранных.
Возможные значения переменной:
0 (отобраны карточки, но ни одна из них не является разыскиваемой)
1 (отобрана ровно одна разыскиваемая карточка)
2 (отобрано две разыскиваемых карточки)
3 (отобраны все три разыскиваемых карточки)
Что мы можем сказать о вероятностях каждого значения переменной:
- Вероятность отбора 0 разыскиваемых карточек находится в соответствии с формулой сочетания без учета порядка (из 8 неразыскиваемых карточек мы выбираем 3): P(0) = C(8, 3)/C(12, 3)
- Вероятность отбора 1 разыскиваемой карточки: P(1) = C(4, 1)*C(8, 2)/C(12, 3)
- Вероятность отбора 2 разыскиваемых карточек: P(2) = C(4, 2)*C(8, 1)/C(12, 3)
- Вероятность отбора 3 разыскиваемых карточек: P(3) = C(4, 3)*C(8, 0)/C(12, 3)
Выпишем значения вероятностей:
P(0) ≈ 0,059
P(1) ≈ 0,297
P(2) ≈ 0,416
P(3) ≈ 0,228
2) Математическое ожидание:
Математическое ожидание - это средняя величина, которую можно рассчитать как сумму произведений значений переменной на соответствующие им вероятности.
E(X) = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3)
Подставляем значения вероятностей и выполняем вычисления:
E(X) ≈ 0 * 0,059 + 1 * 0,297 + 2 * 0,416 + 3 * 0,228 ≈ 1,5
Математическое ожидание числа разыскиваемых карточек среди отобранных составляет примерно 1,5.
3) Дисперсия:
Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно их математического ожидания. В данном случае будет использовано следующее выражение для рассчета дисперсии:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
E(X^2) = 0^2 * P(0) + 1^2 * P(1) + 2^2 * P(2) + 3^2 * P(3)
Подставляем значения вероятностей и выполняем вычисления:
E(X^2) ≈ 0^2 * 0,059 + 1^2 * 0,297 + 2^2 * 0,416 + 3^2 * 0,228 ≈ 1,857
Var(X) = 1,857 - (1,5)^2 ≈ 0,607
Дисперсия числа разыскиваемых карточек среди отобранных составляет примерно 0,607.
4) Функция распределения:
Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное заданному. В данном случае заданы четыре возможных значения переменной: 0, 1, 2, 3.
F(x) = P(X ≤ x)
Подставляем значения вероятностей:
F(0) = P(X ≤ 0) = P(0) ≈ 0,059
F(1) = P(X ≤ 1) = P(0) + P(1) ≈ 0,059 + 0,297 ≈ 0,356
F(2) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) ≈ 0,059 + 0,297 + 0,416 ≈ 0,772
F(3) = P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,059 + 0,297 + 0,416 + 0,228 ≈ 1
Таким образом, функция распределения будет выглядеть следующим образом:
F(x) = 0 при x < 0
F(x) = 0,059 при 0 ≤ x < 1
F(x) = 0,356 при 1 ≤ x < 2
F(x) = 0,772 при 2 ≤ x < 3
F(x) = 1 при x ≥ 3
5) Вероятность наличия хотя бы одной разыскиваемой карточки:
Если мы хотим найти вероятность того, что среди отобранных карточек будет хотя бы одна разыскиваемая, то нам нужно сложить вероятности отбора 1, 2 и 3 разыскиваемых карточек.
P(хотя_бы_одна_разыскиваемая) = P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,297 + 0,416 + 0,228 ≈ 0,941
Таким образом, вероятность того, что среди отобранных карточек есть хотя бы одна разыскиваемая, составляет примерно 0,941.