Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать знания о векторах и их свойствах.
Здесь a, b и c - векторы, а |a|, |b| и |c| - их длины.
Известно, что a + b + c = 0, то есть сумма этих векторов равна нулевому вектору.
Чтобы вычислить (a, b) + (b, c) + (c, a), мы должны посчитать покоординатную сумму произведений соответствующих координат.
Для удобства, давайте представим векторы a, b и c в координатной форме. Пусть a = (a1, a2), b = (b1, b2) и c = (c1, c2), где a1, a2, b1, b2, c1 и c2 - это координаты векторов.
Тогда, чтобы найти (a, b), мы должны просто перемножить соответствующие координаты и сложить их: (a, b) = a1 * b1 + a2 * b2.
Аналогично, (b, c) = b1 * c1 + b2 * c2 и (c, a) = c1 * a1 + c2 * a2.
Теперь, чтобы найти (a, b) + (b, c) + (c, a), мы складываем эти значения:
(a, b) + (b, c) + (c, a) = (a1 * b1 + a2 * b2) + (b1 * c1 + b2 * c2) + (c1 * a1 + c2 * a2).
Подставим значения из условия: лишь учитывая, что |a| = 3, |b| = 1 и |c| = 4, получим:
(a, b) + (b, c) + (c, a) = (3 * b1 + a2) + (b1 * 4 + c2) + (c1 * a1 + 4 * a2).
Так как известно, что a + b + c = 0, то a1 + b1 + c1 = 0 и a2 + b2 + c2 = 0.
Здесь a, b и c - векторы, а |a|, |b| и |c| - их длины.
Известно, что a + b + c = 0, то есть сумма этих векторов равна нулевому вектору.
Чтобы вычислить (a, b) + (b, c) + (c, a), мы должны посчитать покоординатную сумму произведений соответствующих координат.
Для удобства, давайте представим векторы a, b и c в координатной форме. Пусть a = (a1, a2), b = (b1, b2) и c = (c1, c2), где a1, a2, b1, b2, c1 и c2 - это координаты векторов.
Тогда, чтобы найти (a, b), мы должны просто перемножить соответствующие координаты и сложить их: (a, b) = a1 * b1 + a2 * b2.
Аналогично, (b, c) = b1 * c1 + b2 * c2 и (c, a) = c1 * a1 + c2 * a2.
Теперь, чтобы найти (a, b) + (b, c) + (c, a), мы складываем эти значения:
(a, b) + (b, c) + (c, a) = (a1 * b1 + a2 * b2) + (b1 * c1 + b2 * c2) + (c1 * a1 + c2 * a2).
Подставим значения из условия: лишь учитывая, что |a| = 3, |b| = 1 и |c| = 4, получим:
(a, b) + (b, c) + (c, a) = (3 * b1 + a2) + (b1 * 4 + c2) + (c1 * a1 + 4 * a2).
Так как известно, что a + b + c = 0, то a1 + b1 + c1 = 0 и a2 + b2 + c2 = 0.
Подставим это в предыдущее выражение:
(a, b) + (b, c) + (c, a) = (3 * b1 + a2) + (b1 * 4 + c2) + (c1 * a1 + 4 * a2)
= (3 * b1 - a1) + (4 * b1 - c2) + (c1 * a1 - 4 * a1)
= 7 * b1 - 5 * a1 - c2.
Таким образом, получаем окончательный ответ: (a, b) + (b, c) + (c, a) = 7 * b1 - 5 * a1 - c2.
Надеюсь, это решение понятно и полностью отвечает на вопрос.