Question

Выделить действительную и мнимую часть у функции W=e^z^-2

Answer 1

$\Re(w)=e^{x^2-y^2}cos(2xy),\Im(w)=-e^{x^2-y^2}sin(2xy)$

Пошаговое объяснение:

$z=x+iy;x,y\in R$

$w=e^{\overline{z}^2}=e^{(x-iy)^2}=e^{x^2-y^2-i\cdot 2xy}=e^{x^2-y^2}(cos(-2xy)+isin(-2xy))=\\ =e^{x^2-y^2}(cos(2xy)-isin(2xy))\\ \Re(w)=e^{x^2-y^2}cos(2xy),\Im(w)=-e^{x^2-y^2}sin(2xy)$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами экспоненты и представить функцию W=e^z^-2 в виде алгебраической формы.

Исходная функция W=e^z^-2 можно переписать в виде W=e^(-2/z).

Теперь мы можем воспользоваться формулой Эйлера, которая гласит: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x). Здесь i - мнимая единица, которая равна √(-1).

Применяя эту формулу к функции W=e^(-2/z), мы получаем: W = e^(-2/z) = cos(-2/z) + i*sin(-2/z).

Теперь мы можем выделить действительную и мнимую часть данной функции.

Действительная часть:
Для этого возьмем формулу для косинуса в комплексном виде: cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2.

Применим эту формулу к функции cos(-2/z): cos(-2/z) = (e^(-2/z) + e^(2/z))/2.

Теперь вставим вместо e^(-2/z) его представление cos(-2/z) + i*sin(-2/z): cos(-2/z) = [cos(-2/z) + i*sin(-2/z)] + e^(2/z))/2.

Мнимая часть:
Для этого возьмем формулу для синуса в комплексном виде: sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i).

Применим эту формулу к функции sin(-2/z): sin(-2/z) = (e^(-2/z) - e^(2/z))/(2i).

Теперь вставим вместо e^(-2/z) его представление cos(-2/z) + i*sin(-2/z) и получим: sin(-2/z) = [cos(-2/z) + i*sin(-2/z)] - e^(2/z))/(2i).

Таким образом, действительная часть функции W=e^z^-2 равна: [cos(-2/z) + i*sin(-2/z) + e^(2/z))/2.

А мнимая часть функции W=e^z^-2 равна: [cos(-2/z) + i*sin(-2/z) - e^(2/z))/(2i).

Надеюсь, это понятно. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать."