Question

Известно, что ctg= -4/3, 3п/2<х<2п. Найдите cos 2x.
надо

Answer 1

Есть формула, которая выводится из основного тригонометрического тождества и которая связывает котангенс и синус.

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

*чтобы её вывести, подели каждое слагаемое и сумму в основном тригонометрическом тождестве на синус в квадрате.

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1 |:(sin^{2}(x))$

$1+\frac{cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)} = \frac{1}{sin^{2}(x)}$

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

**аналогичная формула существует и для связи тангенса и косинуса.(только теперь нужно делить на косинус в квадрате).

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1 |:(cos^{2}(x))$

$\frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} + 1 = \frac{1}{cos^{2}(x)}$

$1+tg^{2}(x)=\frac{1}{cos^{2}(x)}$

Итак, зная это выведем из формулы синус:

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

(возведём обе стороны выражения в "-1" степень, вследствие этого числители и знаменатели "перевернутся")

$\frac{1}{1+ctg^{2}(x)} = sin^{2}(x)$

Тогда:

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+ctg^{2}(x)} }$

Подставляем исходное значение котангенса:

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+(-\frac{4}{3})^{2}}$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+\frac{16}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9} +\frac{16}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{9}{25}$

$sin(x) =$ ±$\frac{3}{5}$

Поскольку угол "x" лежит в четвёртой четверти по условию (от 3п/2 до 2п), а значения синусов в этой четверти отрицательные, следовательно:

$sin(x) = -\frac{3}{5}$

Формула косинуса двойного угла (1):

$cos2x = cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$

Выразим косинус из основного тригонометрического тождества (2):

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1$

$cos^{2}(x) =1-sin^{2}(x)$

Подставим полученное выражение косинуса (2) в формулу косинуса двойного угла (1):

$cos2x = (1-sin^{2}(x)) -sin^{2}(x) = 1 - sin^{2}(x) - sin^{2}(x)$

$cos2x = 1 -2sin^{2}(x)$

Подставим посчитанное ранее значение синуса в полученную формулу и найдем искомый косинус двойного угла:

$cos2x = 1 - 2*(-\frac{3}{5})^{2} = 1-2*\frac{9}{25} = 1-\frac{18}{25} = \frac{25}{25} -\frac{18}{25}$

$cos2x = \frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0,28$

ответ: 0,28