В магазине продают муку двух образцов ценой 15грн/кг и 30грн/кг. Сколько килограмм муки каждого образца нужно взять чтобы получить 20 кн смеси ценой 24грн/кг? Задача для 5 класа
1. Для решения этой задачи нужно использовать метод перебора. Мы ищем наименьшее четырехзначное число, поэтому будем начинать с числа 1000.
a) Возьмем число 1000 и разложим его на простые множители: 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 5^3
Из этого разложения видно, что в числе 1000 нет цифры 3.
b) Переходим к числу 1001: 1001 = 7 * 11 * 13
В этом разложении также нет цифры 3.
c) Далее идет число 1002. Разложим его: 1002 = 2 * 3 * 167
Тут мы видим одну тройку, но раз произведение цифр должно быть равно 21 (а это 2 * 2 * 2 * 2 * 2 / 3 * 3), то данное число не подходит.
d) Продолжим перебирать числа: 1003 = 17 * 59. Опять же, тройки нет.
e) 1004 = 2 * 2 * 251. И здесь нет 3.
f) 1005 = 5 * 191. Тройки тоже нет.
g) 1006 = 2 * 17 * 59. Снова не то.
h) 1007 = 19 * 53. И тройки нет.
i) Ура! Число 1008 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7. В этом числе есть три тройки (3 * 3 * 3), а произведение цифр равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 21.
Значит, наименьшее четырехзначное число, удовлетворяющее условию, это 1008.
2. Пусть исходная дробь равна x/y.
По условию, если мы возведем числитель в куб и прибавим 3 к знаменателю, то дробь увеличится в 3 раза. Тогда получим следующее уравнение:
(x^3) / (y + 3) = 3 * (x / y)
Для удобства решения, умножим обе части уравнения на (y + 3):
x^3 = 3x(y + 3)
Теперь приведем уравнение к виду, где на одной стороне будет только одно выражение:
x^3 - 3xy - 9x = 0
Факторизуем это уравнение:
x(x^2 - 3y - 9) = 0
Из этого уравнения видно, что либо x = 0, либо (x^2 - 3y - 9) = 0.
Если x = 0, то дробь будет равна 0/y, что не представляет интереса.
Таким образом, остается уравнение:
x^2 - 3y - 9 = 0
Мы должны найти такие целочисленные значения x и y, чтобы это уравнение имело решение. Заметим, что y и x^2 - 3y - 9 должны быть положительными числами, так как мы говорим о дроби.
Используем метод перебора целых чисел.
a) Попробуем x = 1: 1 - 3y - 9 = 0
Это уравнение не имеет решений для целочисленных y.
b) x = 2: 4 - 3y - 9 = 0
Также не имеет решений.
c) x = 3: 9 - 3y - 9 = 0
И снова уравнение не имеет решений.
d) x = 4: 16 - 3y - 9 = 0
Тут мы видим, что при y = 1 уравнение имеет решение.
Таким образом, одним из решений будет x = 4, y = 1. Ответ: 4/1 или 4.
Для решения данной задачи мы можем использовать следующий подход:
1. Представим, что первый лаборант протирает x парт в минуту. Значит, второй лаборант протирает (x-2) парты в минуту (потому что первый лаборант быстрее на 2 парты).
2. Определим сколько парт протирают оба лаборанта вместе за 1 минуту. Первый лаборант протирает x парт, второй - (x-2) парты, следовательно, первый и второй лаборанты вместе протирают (x + (x-2)) = (2x - 2) парты.
3. Теперь мы знаем, что оба лаборанта вместе протирают 2x - 2 парты в минуту.
4. Мы также знаем, что вместе оба лаборанта протирают 12 парт за 5 минут, следовательно, в течение 1 минуты они протирают 12 парт / 5 минут = 2.4 парты.
5. Теперь мы можем записать уравнение 2x - 2 = 2.4 и решить его для x.
a) Возьмем число 1000 и разложим его на простые множители: 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 5^3
Из этого разложения видно, что в числе 1000 нет цифры 3.
b) Переходим к числу 1001: 1001 = 7 * 11 * 13
В этом разложении также нет цифры 3.
c) Далее идет число 1002. Разложим его: 1002 = 2 * 3 * 167
Тут мы видим одну тройку, но раз произведение цифр должно быть равно 21 (а это 2 * 2 * 2 * 2 * 2 / 3 * 3), то данное число не подходит.
d) Продолжим перебирать числа: 1003 = 17 * 59. Опять же, тройки нет.
e) 1004 = 2 * 2 * 251. И здесь нет 3.
f) 1005 = 5 * 191. Тройки тоже нет.
g) 1006 = 2 * 17 * 59. Снова не то.
h) 1007 = 19 * 53. И тройки нет.
i) Ура! Число 1008 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7. В этом числе есть три тройки (3 * 3 * 3), а произведение цифр равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 21.
Значит, наименьшее четырехзначное число, удовлетворяющее условию, это 1008.
2. Пусть исходная дробь равна x/y.
По условию, если мы возведем числитель в куб и прибавим 3 к знаменателю, то дробь увеличится в 3 раза. Тогда получим следующее уравнение:
(x^3) / (y + 3) = 3 * (x / y)
Для удобства решения, умножим обе части уравнения на (y + 3):
x^3 = 3x(y + 3)
Теперь приведем уравнение к виду, где на одной стороне будет только одно выражение:
x^3 - 3xy - 9x = 0
Факторизуем это уравнение:
x(x^2 - 3y - 9) = 0
Из этого уравнения видно, что либо x = 0, либо (x^2 - 3y - 9) = 0.
Если x = 0, то дробь будет равна 0/y, что не представляет интереса.
Таким образом, остается уравнение:
x^2 - 3y - 9 = 0
Мы должны найти такие целочисленные значения x и y, чтобы это уравнение имело решение. Заметим, что y и x^2 - 3y - 9 должны быть положительными числами, так как мы говорим о дроби.
Используем метод перебора целых чисел.
a) Попробуем x = 1: 1 - 3y - 9 = 0
Это уравнение не имеет решений для целочисленных y.
b) x = 2: 4 - 3y - 9 = 0
Также не имеет решений.
c) x = 3: 9 - 3y - 9 = 0
И снова уравнение не имеет решений.
d) x = 4: 16 - 3y - 9 = 0
Тут мы видим, что при y = 1 уравнение имеет решение.
Таким образом, одним из решений будет x = 4, y = 1. Ответ: 4/1 или 4.