Question

18 sin^2 x - 3cos x - 8=0 дайте ответ

Answer 1

Чтобы решить данное уравнение, мы будем использовать знания о свойствах синуса и косинуса, преобразования уравнений и решение квадратных уравнений. Давайте решим его шаг за шагом.

1. Для начала, давайте посмотрим, можем ли мы преобразовать уравнение к виду синуса или косинуса.
Мы видим, что у нас есть sin^2 x (возведение в квадрат). Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1 (тригонометрическая тождество), поэтому мы можем заменить sin^2 x = 1 - cos^2 x. Подставим это в наше уравнение:
18(1 - cos^2 x) - 3cos x - 8 = 0

2. Теперь давайте упростим уравнение:
18 - 18cos^2 x - 3cos x - 8 = 0
- 18cos^2 x - 3cos x + 10 = 0

3. Сейчас у нас получилось квадратное уравнение относительно cos x. Давайте заменим cos x = t, чтобы упростить вычисления. Тогда уравнение примет вид:
- 18t^2 - 3t + 10 = 0

4. Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта и решить три случая: D > 0, D = 0, D < 0.
Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac
У нас есть a = -18, b = -3, c = 10. Подставляем в формулу и находим D:

D = (-3)^2 - 4 * (-18) * 10
= 9 + 720
= 729

5. Мы нашли, что D > 0, поэтому у нас будет два действительных корня. Найдем сами корни, используя формулу решения квадратного уравнения:
t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)
t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)
В нашем случае это:

t1 = (-(-3) + sqrt(729)) / (2 * (-18)) = (3 + 27) / (-36) = 30 / (-36) = -5/6
t2 = (-(-3) - sqrt(729)) / (2 * (-18)) = (3 - 27) / (-36) = -24 / (-36) = 2/3

6. Теперь нужно найти значения cos x, подставив t1 и t2 обратно в уравнение cos x = t:
cos x = -5/6 или cos x = 2/3

7. Для определения значений sin x, можно использовать тождество sin^2 x + cos^2 x = 1.
Подставим найденные значения cos x:
sin^2 x + (-5/6)^2 = 1 или sin^2 x + (2/3)^2 = 1

8. Решим оба уравнения по очереди:

a) sin^2 x + 25/36 = 1
sin^2 x = 1 - 25/36
sin^2 x = 11/36

b) sin^2 x + 4/9 = 1
sin^2 x = 1 - 4/9
sin^2 x = 5/9

9. Возьмем квадратный корень от обоих уравнений, чтобы найти значения sin x:

a) sin x = sqrt(11/36)
sin x = sqrt(11)/6

b) sin x = sqrt(5/9)
sin x = sqrt(5)/3

10. Таким образом, решением данного уравнения являются две пары значений (cos x, sin x):
1) (cos x = -5/6, sin x = sqrt(11)/6)
2) (cos x = 2/3, sin x = sqrt(5)/3)

Теперь школьнику понятно, как получить ответ, и он может убедиться в правильности решения, проверив эти значения в исходном уравнении.