Question

1. Вычислите неопределенные

интегралы:

J(4x3-6x2-4x+3)dx

[x4-xex+6xdx

2. Вычислите определенные интегралы:

J(x3+2x)dx0-1 [(4-x)3dx54

3. Найдите площадь фигуры,

ограниченной

линиями

у=-3x2,y=0,x=1 и

x=2.

n)

Answer 1

1. Для вычисления неопределенных интегралов используем правила интегрирования. Применим интеграл от полинома, где каждый член степени n интегрируется в член степени n+1, а коэффициент при переменной делится на новую степень:
∫(4x^3 - 6x^2 - 4x + 3)dx = (4/4)x^4 - (6/3)x^3 - (4/2)x^2 + 3x + C
= x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x + C, где C - постоянная интегрирования.

Для второго интеграла:
∫(x^4 - xe^x + 6x)dx = (1/5)x^5 - x(e^x) - (6/2)x^2 + C
= (1/5)x^5 - xe^x - 3x^2 + C, где C - постоянная интегрирования.

2. Для вычисления определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница. Результат определенного интеграла равен разности значений неопределенного интеграла на концах интервала. Для первого интеграла:
∫[0,1](x^3 + 2x)dx = ((1/4)1^4 - 2(1^2)) - ((1/4)0^4 - 2(0^2))
= (1/4 - 2) - (0 - 0) = -7/4

Для второго интеграла:
∫[5,4](4 - x)^3dx = ((1/4)(4 - x)^4)|[5,4]
= ((1/4)(4 - 4)^4) - ((1/4)(4 - 5)^4)
= ((1/4)(0)^4) - ((1/4)(-1)^4)
= 0 - 1/4 = -1/4

3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно вычислить определенный интеграл функции y, где y - ограничивающая кривая. В данном случае нужно вычислить интеграл от у = -3x^2 по интервалу от x = 1 до x = 2:
∫[1,2](-3x^2)dx = [-3(1/3)x^3]|[1,2]
= -(2^3/3) + (1^3/3)
= -8/3 + 1/3
= -7/3

Площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 7/3.