Question

В треугольнике ABC
точка D лежит на стороне AВ, а точка E – на стороне
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит
отрезок АB в отношении 7:1, а точка Е делит ВC в отношении 5:3. Пусть
AB = с , AС d =
. Выразите
FE
через
c
и
d .

Answer 1

Для решения задачи вычислим отношение длины отрезка AD к отрезку BD, а также отношение длины отрезка CE к отрезку BE:

AD/BD = 7/1 = 7
CE/BE = 5/3

Зная, что сумма отношений равна 1, мы можем записать следующее:

AD/BD + CE/BE = 1

Подставим значения отношений:

7/1 + 5/3 = 21/3 + 5/3 = 26/3

Теперь найдем значение отношения FD/FE:

FD/FE = CD/CE = (AD + DC)/CE = (7/8 * AB + DC)/CE

Разобъем данное отношение на две части:

FD/FE = (7/8 * AB)/CE + DC/CE

Заметим, что AB = AC + BC, следовательно, AB = (d + c) + c = d + 2c

Тогда получим:

FD/FE = (7/8 * (d + 2c))/CE + DC/CE

Теперь выразим DC через d:

DC = AC - AD = d + c - (7/8 * AB) = d + c - (7/8 * (d + 2c)) = (8d + 8c - 7d - 14c)/8 = (d - 6c)/8

Подставим данное значение в предыдущее уравнение:

FD/FE = (7/8 * (d + 2c))/CE + (d - 6c)/8)/CE

Осталось выразить CE через d:

CE = BC - BE = c - (3/8 * BC) = c - (3/8 * (d + c)) = (8c - 3d - 3c)/8 = (5c - 3d)/8

Подставим данное значение в предыдущее уравнение:

FD/FE = (7/8 * (d + 2c))/((5c - 3d)/8) + (d - 6c)/((5c - 3d)/8)

Упростим выражение:

FD/FE = (7/8 * (d + 2c))/(5c - 3d) + (d - 6c)/(5c - 3d)

После объединения дробей получаем:

FD/FE = (7(d + 2c) + (d - 6c))/(8(5c - 3d))

Упростим числитель:

FD/FE = (8d + 14c + d - 6c)/(8(5c - 3d))

FD/FE = (9d + 8c)/(8(5c - 3d))

Таким образом, FE выражается через c и d следующим образом:

FE = FD * (8(5c - 3d))/(9d + 8c)

Данное выражение позволяет выразить длину отрезка FE через значения c и d.