Question

Дан параллелограмм ABCD. BC : AB = 3, BD = 3√7см, уголА. = 60°. Найди длины сторон параллелограмма.

Answer 1

Длины сторон параллелограмма:

АВ = CD = 3 см; ВС = AD = 9 см

Пошаговое объяснение:

Требуется найти стороны параллелограмма.

Для того, чтобы решить задачу, сделаем чертеж.

Из вершины В опустим высоту на AD.

Дано: ABCD - параллелограмм;

ВС : АВ = 3;

BD = 3√7 см; ∠А = 60°.

Найти: AB; BC; CD; AD.

1. По условию:  ВС : АВ = 3.

Пусть АВ = х см, тогда ВС = 3х см.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ АВ = CD = x см;   ВС = AD = 3x см.

2. Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

∠А = 60° (по условию)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АВН = 90° - 60° = 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒   $\displaystyle AH=\frac{x}{2} \;_{(CM)}$  

По теореме Пифагора:

$\displaystyle BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{x^2-\frac{x^2}{4} } =\frac{x\sqrt{3} }{2}\;_{(CM)}$

3. Рассмотрим ΔHBD - прямоугольный.

$\displaystyle HD=AD-AH=3x-\frac{x}{2} =\frac{5x}{2}\;_{(CM)}$

По теореме Пифагора:

$\displaystyle BD^2=BH^2+HD^2$

Подставим значения и решим уравнение:

$\displaystyle (3\sqrt{7})^2 = \left(\frac{x\sqrt{3} }{2} \right)^2+\left(\frac{5x}{2}\right)^2\\ \\ 63=\frac{3x^2}{4} +\frac{25x^2}{4}\\ \\ 63=\frac{28x^2}{4}\\ \\ 7x^2=63\;\;\;|:7\\ \\ x^2=9\\ \\ x=3$

Стороны АВ = CD = 3 см.

Найдем ВС:

$\displaystyle BC=3x=3*3=9\;_{(CM)}$

Стороны ВС = AD = 9 см.