Question

Y=(x-1)*e^x исследовать функцию и построить её график?

Answer 1

Дана функция $y = (x-1)e^x$
Нули функции $(x-1)e^x=0$ ⇔ x = 1
Найдём также когда y>0 и y <0. Исходя из одной точки пересечения с осью икс, y<0 при x<1, y>0 при x>0

Асимптоты: $\lim_{x\to -\infty} \frac{(x-1)e^x}{x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{e^x\cdot x -e^x}{x} = \lim_{x\to -\infty} e^x-\frac{e^x}{x}} = 0$, так как e^-∞ это ноль, а также экспонента убывает(возрастает) быстрее, чем икс, значит e^x = o(x) (о-малое) значит предел равен нулю. Найдём также предел $\lim_{x \to -\infty} (e^x(x-1)-0\cdot x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x(x-1)) = 0$, значит есть асимптота y = 0. При х стремящимся к + бесконечности у нас пределы равны бесконечности, значит других асимптот нет. При х = 0 функция принимает значение $y(0)=(0-1)e^0 = -1$.

Рассмотрим теперь производную функции: $y'=((x-1)e^x)' = (x-1)'e^x+(e^x)'(x-1)= e^x+e^x(x-1) = e^x\cdot x$
Найдём нули производной  $y'=xe^x=0$ ⇔ x = 0. Так как перед старшей степенью икса стоит +, то знаки будут чередоваться справа налево начиная с плюса, выходит что точка х = 0 точка минимума, значение в ней было посчитано

Найдём вторую производную: $y'' = (xe^x)' = x'e^x+(e^x)'x = e^x+xe^x = e^x(x+1)$
Ноль второй производной это x = -1, аналогично Так как перед старшей степенью икса стоит +, то знаки будут чередоваться справа налево начиная с плюса, значит x = - 1 точка перегиба и при x < - 1 функция выпукла вверх, а при x > -1 функция выпукла вниз. Значение в точке х = -1 равно $y(-1)=(-1-1)e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx 0.736$. Мы провели все рассуждения для построения графика (он на фото. Синяя прямая проведена для наглядности, чтобы показать, где конкретно точка перегиба)