Хорошо, давайте решим данный математический вопрос.
Перед тем, как рассмотреть задачу, давайте определим, что означает фраза "площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(-2), y=4 и x=8". Создадим график и посмотрим, как выглядит эта фигура.
Теперь давайте рассмотрим задачу. Нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими тремя линиями. Мы можем использовать интегралы для этого. Используем метод горизонтальных полос для расчета площади.
Первым шагом определим, в каких пределах будем интегрировать. Нам нужно найти точки пересечения графика y=x^(-2) с y=4 и x=8. Для этого приравняем уравнения и решим их:
x^(-2) = 4
1/x^2 = 4
x^2 = 1/4
x = 1/2 или x = -1/2 (у нас нет отрицательного значения в нашем диапазоне)
Таким образом, наша область интегрирования будет от x=-1/2 до x=8.
Теперь рассчитаем площадь каждой горизонтальной полосы. Обозначим высоту полосы как y и ширину как dx.
Мы знаем, что основание каждой полосы основывается на функции y=x^(-2), поэтому для нахождения высоты полосы, y, мы можем подставить x^(-2) вместо y в наши интегралы.
Теперь мы готовы записать наш интеграл для расчета площади:
S = ∫(от x=-1/2 до x=8) x^(-2)dx.
Решим этот интеграл пошагово:
∫x^(-2)dx = ∫(1/(x^2))dx.
Мы можем воспользоваться правилом степени, чтобы упростить этот интеграл:
∫(1/(x^2))dx = -1/x.
Теперь мы готовы рассчитать этот интеграл:
S = -1/x | от x=-1/2 до x=8.
Заменим верхний и нижний пределы интеграла в нашей формуле:
S = (-1/8) - (-1/(-1/2)).
Упростим это выражение:
S = (-1/8) + 2.
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(-2), y=4 и x=8, равна -1/8 + 2.
Для окончательного ответа, сложим -1/8 и 2:
S = 15/8.
4.5
Пошаговое объяснение: