Question

Диагональ прямоугольника размерами 5х7 пересекает 11 единичных квадратиков. Тогда, сколько единичных квадратиков пересекает диагональ прямоугольника размерами 2020х2022?

Answer 1

Не увидела связи между прямоугольником $5\times 7$  и рассматриваемым. потому решение может не очень красивое.

Заметим, что есть узловая точка $(-1011,1010)$, которая делит прямоугольник на два (по диагонали), в которых количества пересекаемых квадратиков равны и потому можно посчитать только в одном из них.

Рассмотрим две горизонтальные прямые и диагональ. Внутри они образуют прямоугольный треугольник, один из катетов которого (горизонтальный) равен $1$. Ну а тогда второй равен $2\dfrac{2022}{2020} = \dfrac{1011}{1010}1$, а потому количество пересекаемых квадратов в каждой из горизонталей либо $2$, либо $3$. Поймем, когда их три.

Три квадратика образуются тогда и только тогда, когда точки пересечения соседних вертикалей находятся между соседними горизонталями. Для этого требуется, чтобы точка $\dfrac{1010}{1011}j$ ($j$ --  номер вертикали) достаточно далеко находилась от ближайшего целого, то есть дробная часть $\left\{\dfrac{1010}{1011}j\right\}$, что равносильно тому, что $1010j\equiv 0 \mod 1011$, поскольку иначе число $1010j$ дает остаток, не меньший $1$. Но $(1010,1011)=1$, а потому единственными решениями будут $j=0,\;j=1011$, то есть крайние вертикали, что не подходит. Значит, во всех горизонталях задеваются ровно два квадрата, а значит всего $2\cdot (2\cdot 1010) = 4040$.