Question

Дана функция f(x)=4^x Для данной функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (log4 2; 1/ln4)

...

Answer 1

Хорошо, давайте начнем сначала и разберемся с поставленной задачей.

Нам дана функция f(x) = 4^x и мы должны найти первообразную этой функции, график которой проходит через точку M(log4 2, 1/ln4).

Чтобы найти первообразную функции, мы должны использовать интеграл. В данном случае, мы будем решать определенный интеграл, чтобы учесть условие о прохождении графика через точку M.

Шаг 1: Запишем задачу с использованием обозначения интеграла:
∫[f(x)dx] = F(x) + C

где F(x) - первообразная функции f(x), а C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Запишем функцию f(x) в виде степенной функции:
f(x) = 4^x = (2^2)^x = 2^(2x)

Шаг 3: Проинтегрируем функцию по переменной x:
∫[2^(2x)dx]

Шаг 4: Используем формулу замены переменной:
Положим u = 2x, тогда du/dx = 2 и dx = du/2

Подставим замену в интеграл:
∫[2^(2x)dx] = ∫[(2^u)(du/2)]

Шаг 5: Вынесем константу за знак интеграла:
∫[(2^u)(du/2)] = (1/2) ∫[(2^u)du]

Шаг 6: Проинтегрируем полученную функцию:
(1/2) ∫[(2^u)du] = (1/2) * (2^u/ln2) + C1

Здесь мы использовали формулу интегрирования функции 2^u: ∫[(2^u)du] = (2^u/ln2) + C1

Шаг 7: Вернемся к исходной переменной x, заменив u обратно:
F(x) = (1/2) * (2^u/ln2) + C1 = (2^2x/ln2) + C1

Шаг 8: Теперь, чтобы учесть условие о прохождении графика через точку M(log4 2, 1/ln4), подставим значения x и y в уравнение первообразной и решим уравнение относительно константы C1:
1/ln4 = (2^(2(log4 2))/ln2) + C1

Подставим log4 2 как x:
1/ln4 = (2^(2x)/ln2) + C1

(1/ln4) - (2^(2(log4 2))/ln2) = C1

Вычислим значения в скобках:
(1/ln4) - (2^(2(log4 2))/ln2) = (1/ln4) - (2^(2*1)/ln2) = (1/ln4) - (2^2/ln2) = (1/ln4) - (4/ln2)

C1 = (1/ln4) - (4/ln2)

Шаг 9: Запишем окончательный ответ, подставив найденное значение C1 в уравнение первообразной:
F(x) = (2^2x/ln2) + [(1/ln4) - (4/ln2)]

Это и есть первообразная функции f(x) = 4^x, график которой проходит через точку M(log4 2, 1/ln4).