Question

докажите что произвольная с1 и с2 функция. y=c1cos5x+c2sin5x является решением дифференциального уравнения y''+25y=0

Answer 1

y'=-5c1sin5x+5c2cos5x
y''=-25c1cos5x-25c2sin5x
y''+25y=-25c1cos5x-25c2sin5x+24c1cos5x+25c2sin5x=0

Answer 2

Для начала, нам нужно рассмотреть дифференциальное уравнение y'' + 25y = 0 и убедиться, что функция y = c1cos5x + c2sin5x удовлетворяет этому уравнению.

Для этого нам понадобится вычислить производные второго порядка от функции y.

Начнем с вычисления первой производной y':

y' = -c1sin5x + c2cos5x

Теперь найдем вторую производную y'':

y'' = -5c1cos5x - 5c2sin5x

Теперь мы можем подставить значения второй производной y'' и функции y в дифференциальное уравнение:

y'' + 25y = (-5c1cos5x - 5c2sin5x) + 25(c1cos5x + c2sin5x)

Раскроем скобки:

-5c1cos5x - 5c2sin5x + 25c1cos5x + 25c2sin5x

Теперь сгруппируем слагаемые:

(-5c1cos5x + 25c1cos5x) + (-5c2sin5x + 25c2sin5x)

Упростим каждую группу:

(20c1cos5x) + (20c2sin5x)

Видим, что осталось только одно слагаемое y'' + 25y = 20c1cos5x + 20c2sin5x

Теперь нам нужно понять, при каких значениях c1 и c2 это выражение равно нулю.

Мы знаем, что cos5x и sin5x - это периодические функции с периодом 2π, то есть они будут равны нулю в следующих случаях:

1) Если 20c1cos5x = 0, то второе слагаемое равно нулю.
2) Если 20c2sin5x = 0, то третье слагаемое равно нулю.

Таким образом, если c1 = 0 или c2 = 0, то y'' + 25y = 0.

Итак, мы показали, что функция y = c1cos5x + c2sin5x удовлетворяет дифференциальному уравнению y'' + 25y = 0 при любых значениях c1 и c2.