Question

С ОБЪЯСНЕНИЕМ! Можно ли раскрасить клетки доски 5×5 в два цвета — чёрный и белый
— так, чтобы у каждой белой клетки были ровно три соседние по
стороне чёрные клетки, а у каждой чёрной клетки — ровно две
соседние по стороне белые?

Answer 1

Да, можно раскрасить клетки доски 5×5 в два цвета - черный и белый, так чтобы у каждой белой клетки было ровно три соседние по стороне черные клетки, а у каждой черной клетки ровно две соседние по стороне белые.

Для решения этой задачи воспользуемся методом контрпримера, то есть предположим, что возможности такой раскраски нет.

Предположим, что мы раскрасили клетки доски следующим образом:

```
Ч Ч Ч Ч Ч
Ч Б Б Б Ч
Ч Ч К Ч Ч
Ч Б Б Б Ч
Ч Ч Ч Ч Ч
```
где Ч - чёрная клетка, Б - белая клетка, К - клетка, по которой невозможно раскрасить другие клетки согласно условию задачи.

Теперь посмотрим на клетку К. Если она была раскрашена в черный цвет, то согласно условию у нее должно быть ровно две белые клетки соседние по стороне. Однако в нашем предположении клетка К окружена только черными клетками, следовательно, она должна быть раскрашена в белый цвет.

Теперь посмотрим на белую клетку, которая находится рядом с клеткой К. Согласно условию, у нее должны быть ровно три черные клетки соседние по стороне. Однако, вокруг клетки К оказываются только две черные клетки. Следовательно, наше предположение о невозможности такой раскраски доски было неверно.

Мы можем раскрасить клетки доски следующим образом:

```
Ч Б Ч Б Ч
Б Ч Б Ч Б
Ч Б Ч Б Ч
Б Ч Б Ч Б
Ч Б Ч Б Ч
```

В этой раскраске каждая белая клетка имеет три соседние черные клетки, а каждая черная клетка имеет две соседние белые клетки. Задача решена.

Данное решение показывает, что существует возможность раскрасить клетки доски 5×5 в два цвета, удовлетворяющую условию задачи.