Question

Решите уравнение
2+log2(7x²+1)-log корень из 2 (корень из 9х²+7)=0

Answer 1

Для решения этого уравнения мы будем использовать свойства логарифмов.

Данное уравнение содержит два логарифма, поэтому мы сначала применим свойство логарифма для объединения двух логарифмов в один.

logа - logb = log(a/b)

Применяя это свойство к первому логарифму, получим:

2 + log2(7x²+1) - log(корень из 2 (корень из 9х²+7)) = 0

Теперь рассмотрим второй логарифм.

log(корень из а) = 1/2 * log(a)

Таким образом, уравнение станет:

2 + log2(7x²+1) - 1/2 * log(9х²+7) = 0

Теперь мы можем объединить два логарифма с помощью свойства объединения:

loga + logb = log(a * b)

Применим это свойство к первым двум членам уравнения:

log2((7x²+1) * 2) - 1/2 * log(9х²+7) = 0

Упростим это уравнение:

log2(14x² + 2) - 1/2 * log(9х²+7) = 0

Теперь приведем к общему знаменателю:

log2(14x² + 2) - 1/2 * log(9х²+7) = 0

Чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в основание логарифма:

2^(log2(14x² + 2) - 1/2 * log(9х²+7)) = 2^0

2^(log2(14x² + 2)) * 2^(-1/2 * log(9х²+7)) = 1

Теперь мы можем использовать свойство эквивалентности логарифма:

a^loga(x) = x

(14x² + 2)(9х²+7)^(-1/2) = 1

Теперь рассмотрим отрицательный показатель степени:

a^(-b) = 1 / a^b

(14x² + 2) / (9х²+7)^(1/2) = 1

Теперь возведем в квадрат обе стороны уравнения:

[(14x² + 2) / (9х²+7)^(1/2)]^2 = 1^2

(14x² + 2)^2 / (9х²+7) = 1

Раскроем квадрат в числителе:

(196x^4 + 56x^2 + 4) / (9х²+7) = 1

Умножим обе стороны уравнения на (9х²+7) для избавления от знаменателя:

196x^4 + 56x^2 + 4 = 9х²+7

Теперь приведем подобные члены и перенесем все влево:

196x^4 + 56x^2 - 9х² - 3 = 0

Объединим члены:

196x^4 + 47x^2 - 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение. Давайте решим его.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

В данном случае a = 196, b = 47 и c = -3.

x = (-47 ± √(47^2 - 4 * 196 * -3))/(2 * 196)

Вычислим дискриминант:

D = (47^2) - 4 * 196 * -3

D = 2209 - (-2352)

D = 4561

Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем два возможных значения x:

x₁ = (-(-47) + √4561)/(2 * 196)

x₁ = (47 + √4561)/392

x₂ = (-(-47) - √4561)/(2 * 196)

x₂ = (47 - √4561)/392

Это окончательные ответы для решения уравнения.