Question

вычислить двойной интеграл ∫^1 dx ∫^2 (3x^2 - 3y^2)dy

Answer 1

$∫^{1} _{0}dx∫^{2} _{0}(3 {x}^{2} - 3 {y}^{2} )dy \\$

для начала нужно вычислить интеграл с dy значит з будет константой

получим

$∫^{2} _{0}(3 {x}^{2} - 3 {y}^{2} )dy =( 3 {x}^{2} y - 3 \times \frac{ {y}^{3} }{3} ) |^{2} _{0} = \\ = (3 {x}^{2} y - {y}^{3}) | ^{2} _{0} = 3 {x}^{2} \times 2 - {2}^{3} - (3 {x}^{2} \times 0 - {0}^{3}) =6 {x}^{2} - 8$

теперь запишем 6х²-8 к второму интегралу и решим его

$∫^{1} _{0}(6 {x}^{2} - 8)dx =( 6 \times \frac{ {x}^{3} }{3} - 8x)| ^{1} _{0} = (2 {x}^{3} - 8x)| ^{1} _{0} = \\ = 2 \times {1}^{3} - 8 \times 1 - (2 \times {0}^{3} - 8 \times 0) = 2 - 8 = - 6$

ответ: -6