Question

Вычислить производную функции.

Answer 1

$\frac{{x{e^{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \sqrt {1 + {x^2}} {{(2 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}.$

Пошаговое объяснение:

Это сложная функция. Берем производную сперва от $e$ в степени, потом умножаем последовательно на производные вложенных функций: арктангенса, корня, квадрата:

${\left( {{e^{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)^\prime } = {e^{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot \frac{1}{{1 + 1 + {x^2}}} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot 2x = \frac{{x{e^{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \sqrt {1 + {x^2}} {{(2 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}.$

Answer 2

Производная сложной функции   $(e^{u})'=e^{u}\cdot u'$  .

$y=e^{arctg\sqrt{1+x^2}}\ \ ,\ \ \ u=arctg\sqrt{1+x^2}y'=e^{arctg\sqrt{1+x^2}}\cdot (arctg\sqrt{1+x^2})'={}\ \ \ \star \ \ (arctgu)'=\dfrac{1}{1+u^2}\cdot u'\ \ \star =e^{arctg\sqrt{1+x^2}}\cdot \dfrac{1}{1+(1+x^2)}\cdot (\sqrt{1+x^2})'={}\ \ \ \star \ \ (\sqrt{u})'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\ \ \star =e^{arctg\sqrt{1+x^2}}\cdot \dfrac{1}{1+(1+x^2)}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot (1+x^2)'={}\ \ \star \ \ (x^{n})'=n\, x^{n-1}\ \ ,\ \ 1'=0\ \ ,\ \ (u+v)'=u'+v'\ \star$

$=e^{arctg\sqrt{1+x^2}}\cdot \dfrac{1}{1+(1+x^2)}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot (0+2x)=\dfrac{e^{arctg\sqrt{1+x^2}}}{(2+x^2)}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}==\dfrac{x\cdot e^{arctg\sqrt{1+x^2}}}{(2+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}$