Question

Квадрат 8×8 розрізали лініями клітин на частини однакового периметра. Яку найбільшу кількість частин можна отримати, якщо ми знаємо, що не всі частини були прямокутної форми? (Нагадуємо, що квадрат – теж прямокутник.) Не забудьте довести, що знайдена вами кількість є максимальною і навести приклад розрізання (малюнок треба вислати прикріпленим файлом).

Answer 1

Зауважимо, що якщо всі частини будуть прямокутної форми, то максимальна кількість частин, на які розрізаний квадрат, дорівнює 18. Це випливає з того, що якщо розрізати квадрат на прямокутники зі сторонами 1×2, то ми отримаємо 32 частини, а якщо на прямокутники зі сторонами 1×1, то ми отримаємо 16 частин.

Оскільки не всі частини повинні бути прямокутних, то можна розглянути дві такі частини, які мають різний периметр і обидві не є прямокутними.

Зафіксуємо пряму лінію, яка фактично розрізає квадрат на дві частини. Тоді можна помітити, що можливі три варіанти для форми однієї з частин: прямокутник, трикутник або багатокутник з більш ніж чотирма вершинами.

Якщо одна з частин має прямокутну форму, то максимальна кількість частин буде такою ж, як у випадку прямокутних частин. Якщо одна з частин має форму трикутника, то інша частина повинна складатися з двох трикутників або бути більш ніж чотирьохкутником. У першому випадку ми отримуємо три частини, у другому - п'ять. Якщо одна з частин має форму більш ніж чотирьохкутника, то інша частина повинна бути менш ніж чотирьохкутником і ми отримуємо як мінімум дві частини.

Отже, максимальна кількість частин, яку можна отримати при розрізанні квадрата на частини однакового периметра з урахуванням можливості не прямокутної форми частин, дорівнює 21. Одне з можливих розбиттів наведено на малюнку нижче.

Площа: 16 дм²

Answer 2

Максимальное количество частей, которое можно получить, равно 32. Докажем это.

Рассмотрим произвольное разрезание квадрата на части одинакового периметра, состоящее из n прямоугольников. Пусть P будет периметром каждого из прямоугольников, а A – площадью всего квадрата. Тогда периметр всего квадрата равен 32, а его площадь равна 64. На основании формулы для площади S = a * b и соотношения P = 2 * (a + b) получаем:

A = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn,

где ai и bi – соответствующие стороны i-го прямоугольника.

Исходя из условий задачи, все прямоугольники имеют одинаковый периметр P. Следовательно, для каждого из них выполняется условие P = 2 * (a + b), откуда

a + b = P / 2.

Выразим a через b:

a = P / 2 - b.

Тогда

A = b1 * (P / 2 - b1) + ... + bn * (P / 2 - bn) =

= (P / 2) * (b1 + ... + bn) - (b1^2 + ... + bn^2) <=

<= (P / 2) * (b1 + ... + bn),

где последнее неравенство следует из того, что сумма квадратов любых n чисел не превосходит квадрата их суммы.

Таким образом, площадь всего квадрата A не превосходит (P / 2) * n, где n – количество прямоугольников в разрезании. Из этого вытекает, что

n <= 2 * A / P.

Подставляя значения P = 32, A = 64, получаем

n <= 4,

то есть нельзя разрезать квадрат на более чем 4 прямоугольника одинакового периметра. Однако существует разрезание на 4 прямоугольника, демонстрирующее, что максимальное количество частей равно 32: