Question

Решить симметрическое уравнение x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0

Answer 1

$x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0$
легко проверить, х=0 не является корнем этого уравнения, поэтому можно разделить на х² обе части уравнения
$x^2-7x+14- \frac{7}{x}+ \frac{1}{x^2} =0$
перегруппируем чуть-чуть полученное уравнение
$x^2+ \frac{1}{x^2}-7x- \frac{7}{x}+14=0$
$x^2+ \frac{1}{x^2}-7(x+ \frac{1}{x} )+14=0$
проведем замену переменных
$(x+ \frac{1}{x})=y$ ⇒ $(x+ \frac{1}{x})^2=y^2$ ⇒ $x^2+ \frac{1}{x^2}=y^2-2$
$y^2-2-7y+14=0$
$y^2-7y+12=0$
как видим решение возвратного уравнения четвертой степени сводится к решению квадратного уравнения
$D=1$
$y_1=3$
$y_2=4$
подставляем полученные значения
$x+ \frac{1}{x}=3$
$x^2+1=3x$
$x^2-3x+1=0$
$D=5$
$x_1=0.38197$
$x_2=2.6180$

$x+ \frac{1}{x}=4$
$x^2+1=4x$
$x^2-4x+1=0$
$D=12$
$x_3=0.2679$
$x_4=3.7320$

вот и все что можно тут сказать... :)