Question

Решите интеграл хdх/(х+1)(х+2)(х+3)

Answer 1

Подинтегральную функцию представим в  виде
$\frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}$
Тогда
A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)=x
a(x²+5x+6)+B(x²+4x+3)+C(x²+3x+2)=x
{A+B+C=0
{5A+4B+3C=1
{6A+3B+2C=0

Первое умножаем на -5 и складываем со вторым, затем умножаем на -6 и складываем с третьим
{A+B+C=0
{   -B-2C=1
{   -3B-4C=0
Второе умножаем на -3 и складываем с третьим
{A+B+C=0
{   -B-2C=1
{       2C=-3

{A=-B-C
{   B=-2C-1
{       C=-3/2

{A=-0,5
{B=2
{C=-1,5
Получаем
$\int\limits \frac{xdx}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\int\limits( \frac{-0.5}{x+1} + \frac{2}{x+2} + \frac{-1.5}{x+3})dx= \\ =-0.5ln|x+1|+2ln|x+2|-1.5ln|x+3|+C$