Question

Напомните, , как записывать в виде рационального числа периодическую дробь?

Answer 1

Можно просто запомнить правило:

Чтобы представить периодическую десятичную дробь в виде рационального числа, надо в числитель записать разность данного числа без запятой и скобок, и числа до периода (без учета запятой); в знаменатель записать число, содержащее столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к нему столько нулей, сколько цифр между запятой и скобками.

Например:

$1,21(7) = \frac{1217 - 121}{900} =\frac{1096}{900} =\frac{274}{225}$

В числитель пишем разность 1,21(7) и 1,21 (без учета запятой и скобок), в знаменатель одну девятку, так как в периоде одна цифра, и два нуля, так как после запятой до периода две цифры.

Можно представить периодическую дробь в виде суммы бесконесно убывающей геометрической прогрессии.

Тот же пример: 1, 21(7)

1,21 - постоянная часть, ее пока не рассматриваем.

0,00(7) = 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ... - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

b₁ = 0,007, q = 0,1

$S=\frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,007}{1-0,1} =\frac{0,007}{0,9} =\frac{7}{900}$

Теперь осталось прибавить к этой дроби постоянную часть:

$1,21(7) = 1,21 +\frac{7}{900} =\frac{121}{100}+\frac{7}{900} = \frac{1089}{900} +\frac{7}{900} = \frac{1096}{900} =\frac{274}{225}$