Question

Найдите пятизначное число, которое в 45 раз больше произведения своих цифр.

Answer 1

Ну допустим, что число записывается так:

$abcde$ - просто запись.

То есть оно имеет вид такой:

$a\cdot 10^4+b\cdot 10^3+c\cdot 10^2 +d\cdot 10^1+e$

Раз оно больше произведения своих цифр в 45 раз, то это запишем так:

$10000a+1000b+100c+10d+e=45abcde$

Исходное число кратно 45. Это означает, что делится на 45, а как следствие, и на 5 и на 9 (делители числа 45).

На 5 делится, то есть оканчивается на 5 или на 0. Но если на 0, то произведение цифр равно 0. Не подойдет. Значит, $e=5$

$10000a+1000b+100c+10d+5=225abcd$

$10(1000a+100+10c+d)+5=225abcd\bigg|:5$

$2(1000a+100b+10c+d)+1=45abcd$

$2(1000a+100b+10c+d)=45abcd-1;$

$$1000a+100b+10c+d=\frac{45abcd-1}{2}$

Это намекает на то, что произведение цифр старших 4-ех разрядов нечетно. А оно нечетно только тогда, когда состоит из нечетных цифр.

Плюс ещё помним, что исходное число делится на 9, то есть сумма его цифр делится на 9, $a+b+c+d+e=9k. k\in \mathbb{N}$

Ах да, не забудем $10000a+1000b+100c+10d+5=225abcd$

То есть число делится на 225. Это всё-таки прилично сужает круг.

Ещё можно ограничить произведение цифр

$10000$

Учитывая, что e=5

$44,4$.Понятно, что там целые будут.

Ещё можно рассмотреть конкретные случаи суммы цифр.

Максимум то могло быть 99995 (9+9+9+9+5=41), но по произведению

явно не подойдет. Сумма или 36 или 27 или 18 или 9 (делимость на 9).

36 не подойдет, потому что за 5 нечетных чисел получается нечетное.

Аналогично 18.

9 тоже не подойдет. Это 1+1+1+1+5. Произведение (первые 4) 1*1*1*1=1<44.

Вывод: надо искать число с суммой цифр 27 (при этом сумма цифр в четырех старших разрядах равна 22), делящееся на 225, состоящее только из нечетных цифр, с произведением произведение 4 цифр в старших разрядах, лежащим от 44 до 444.

1579

3379

3559

...

В общем, комбинаций много. К сожалению, подбор никуда не денешь.

Это число 77175.

7 × 7 × 1 × 7 × 5 = 1 715

77 175 / 1 715 = 45

ответ: 77175