Question

Провести полное исследование функции и построить график x^2-14/x-4

Answer 1

Результаты исследования графика функции x²-(14/x)-4Область определения функции. ОДЗ:Точки, в которых функция точно неопределена: x=0
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2-(14/x)-4. 
Результат: y=00. Точка: (0, 00)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2-(14/x)-4 = 0 Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:
x=2.956. Точка: (2.956, 0)Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=2*x + 14/x^2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=-1.913. Точка: (-1.913, 6.978)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:-1.913Максимумов у функции нетуВозрастает на промежутках: [-1.913, oo)Убывает на промежутках: (-oo, -1.913]Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=2 - 28/x^3=0lim y'' при x->+0
lim y'' при x->-0
(если эти пределы не равны, то точка x=0 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=2.410. Точка: (2.4103, -4.00)x=0. Точка: (0, ±oo)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [2.410, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 2.410]Вертикальные асимптотыЕсть: x=0Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim x^2-(14/x)-4, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim x^2-(14/x)-4, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:lim x^2-(14/x)-4/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim x^2-(14/x)-4/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:x^2-(14/x)-4 = x^2 - 4 + 14/x - Нетx^2-(14/x)-4 = -(x^2 - 4 + 14/x) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной.
Для построения графика нужно составить таблицу значений у при заданном значении х:
х -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
у 97,4 78,56 61,75 47 34,33 23,8 15,5 9,667 7 11 -17 -7 0,333 8,5 18,2 29,67 43 58,25 75,44 94,6