Question

Написать уравнение и построить параболу,если ее вершина находится в точке (-2,-3) и она проходит через начало координат.

Answer 1

Уравнение параболы имеет вид: $y=ax^2+bx+c.$
Формулы для координат вершины параболы выглядят так:
$x_0= \frac{-b}{2a}; y_0= \frac{4ac-b^2}{4a};\\ (x_0;y_0)=(-2;-3) =\\-2= \frac{-b}{2a};\\b=4a;\\-3= \frac{4ac-b^2}{4a};\\-3= \frac{4ac-(4a)^2}{4a}=\frac{4ac-16a^2}{4a}=\frac{4a(c-4a)}{4a}=c-4a;\\c-4a=-3;\\$
Знаем,что парабола проходит через точку (0;0),  значит, $0=a*0^2+b*0+c = c=0;$
$c-4a=-3;\\c=0 = -4a=-3;\\4a=3;\\a= \frac{3}{4};\\ \left \{ {{b=4a;} \atop {4a=3;}} \right. = b=3.$
$y= \frac{3}{4}x^2+3x+0;\\ y=\frac{3}{4}x^2+3x.$

Решим квадратное уравнение и найдем точки, через которые проходит парабола:
$\frac{3}{4}x^2+3x=0;\\ x(\frac{3}{4}x+3)=0;\\x_1=0; y_1=0;\\ \frac{3}{4}x+3=0;\\\frac{3}{4}x=-3;\\x_2= \frac{-3}{1}* \frac{4}{3}=-4;\\ y_2=\frac{3}{4}*(-4)^2+3*(-4)= 12-12=0;\\ (0;0); (-4;0).$
По найденным значениям и координатам вершины параболы построим график( рис.ниже).