Если все боковые ребра тетраэдра SABC равны, то в основании пирамиды равносторонний треугольник. Примем его сторону за а. Высота пирамиды SО, где О - точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы основания). Пусть АД - высота основания. Точка О делит её в отношении 2:1 от вершины А. Высота АД = а√3/2, отрезок АО = (2/3)АД = а√3/3. Из условия, что углы при вершине прямые, следует, что апофема SД равна половине стороны основания (углы ДSВ и ДВS равны по 45°) : SД = а/2. Высота пирамиды SO равна: SO = √(SД² - (АД/3)²) = √((а²/4) - (3а²/36)) = а/√6. Искомый угол α наклона бокового ребра к плоскости основания находим по его тангенсу: tg α = SO/AO = (a/√6)/(а√3/3) = 1/√2 ≈ 0,707107. Угол α = arc tg(1/√2) = 0,61548 радиан = 35,26439°.
Площадь треугольника = 1/2 произведения основания на высоту. В нашем треугольнике S = АС * ВД /2. АС = АД +ДС, где АД и ДС - катеты прямоугольных треугольников АДВ и ВДС. В каждом из этих треугольников известны: гипотенузы АВ (17см), ВС (25см) и второй катет ВД (15см). Зная теорему Пифагора, найдём катеты АД и ДС. АД = корень квадратный из (АВ^2 - BD^2) = корень квадратный из (17^2 - 15^2) = 8cм. ДС = корень квадратный из (ВС^2 - ВД^2) = корень квадратный из (25^2 - 15^2) = 20см АС = АД + ДС = 8 +20 = 28см S = 28*15/2 = 210кв.см ответ: площадь треугольника 210 кв.см
