Question

Случайная величина x равномерно распределена на [a, b]. дано ожидание m(x) = 3 и дисперсия d(x) =4/3 . найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения f(x); в) вероятность попадания случайной величины x на отрезок [2, 5]. построить графики функций f(x) и f(x) и показать на них смысл p(2 < = x< = 5).

Answer 1

F(x)=0 при x<a
f(x)=0 при x>b
f(x)=c при a<x<b
integral [-беск;+беск] f(x)*dx =integral [a;b] c*dx = c*(b-a)=1
c=1/(b-a)
f(x)=1/(b-a) при a<x<b

MX=
=integral [-беск;+беск] f(x)*x*dx =
=1/(b-a)* integral [a;b] x*dx =
=1/(b-a)*  x^2/2 [a;b] =
=1/(b-a)* ( b^2/2 - a^2/2) =
=(b+a)/2 = 3

MX^2=
=integral [-беск;+беск] f(x)*x^2*dx =
=1/(b-a)* integral [a;b] x^2*dx =
=1/(b-a)*  x^3/3 [a;b] =
=1/(b-a)* ( b^3/3 - a^3/3) =
=(b^2+ab+a^2)/3

DX=
=MX^2 - (MX)^2=
=(b^2+ab+a^2)/3 - (b+a)^2/4 =
= (4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2)/12 =
= (b^2-2ab+a^2)/12 =
= (b-a)^2/12 =
= 4/3

(b+a)/2 = 3
(b-a)^2/12 = 4/3

b+a = 6
(b-a)^2 = 16

b+a = 6
b-a= 4

b=5;a=1

f(x)=0 при x<1
f(x)=0 при x>5
f(x)=1/4 при 1<x<5

F(x)=integral [-беск;x] f(t)*dt
F(x)=0 при x<1
F(x)=(x-1)/4 при 1<x<5
F(x)=1 при x>5

P(x є [2;5]) = F(5) - F(2) = 1 - (2-1)/4 = 3/4