Question

Найти интеграл: интеграл arctg(корень x) dx

Answer 1

$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Пошаговое объяснение:

$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:  

$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒

$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{dx}{(1+x)\cdot2\sqrt x}$

Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t

x = t² ⇒ dx = 2t dt

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac{t^3dt}{t\cdot(1+t^2)} = \int \frac{t^3dt}{t+t^3} = \int\bigg(1- \frac{t}{t+t^3}\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac{dt}{1+t^2} = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$