Відповідь:
Покрокове пояснення:
Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r^3 - r = 0
Вынесем r за скобку. Получим:
r(r^2-1) = 0
Здесь r1 = 0. Найдем остальные корни.
r^2 +0 r - 1 = 0
D=02 - 4·1·(-1)=4
Корни характеристического уравнения:
r1 = -1
r2 = 0
r3 = 1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e^(-x)
y2 = e^(0x)
y3 = e^x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y- = C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x , Ci ∈ R
Правая часть P(x) = x^2+x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
y· = x (Ax^2 + Bx + C)
Вычисляем производные:
y' = A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)
y'' = 2(3·A·x+B)
y''' = 6·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y''' -y' = (6·A) -(A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)) = x^2+x
или
-3·A·x^2+6·A-2·B·x-C = x^2+x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x^2: -3A = 1
1: 6A -C = 0
x: -2B = 1
Решая ее, находим:
A = -1/3;B = -1/2;C = -2;
Частное решение имеет вид:
y·=x (-1/3x^2 -1/2x -2)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = y- + y. =C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x -1/3x^3 -1/2x^2 -2x
