Question

Решить уравнение sin x + (sin^2) x+ (cos^3) x = 0

Answer 1

$\sin x+\sin^2 x + \cos^3x=0$
 Представим cos x как √(1-sin²x), но знак может быть ±, возьмём по модулю
 $\sin x+\sin^2 x+ \cos^2x \cdot \cos x=0\\ \sin x+\sin^2x + (1-\sin^2x)\cdot |\sqrt{1-\sin^2x}|=0$
Пусть $\sin x=t\,(|t| \leq 1)$, тогда получаем
$t+t^2+(1-t^2)\cdot | \sqrt{1-t^2}|=0$
ОДЗ этого уравнения 1-t² ≥ 0, откуда t ∈ [-1;1], имеем уравнение
$t+t^2+(1-t^2) \sqrt{1-t^2}=0 \\ -t-t^2=(1-t^2)^{ \frac{3}{2} }\\ (1-t^2)^3=(-t-t^2)^2\\ -(t-1)^3(t+1)^3-t^2(t+1)^2=0\\ (t+1)^2(-(t-1)^3(t+1)-t^2)=0\\ t_1=-1\\ \\ -(t-1)^3(t+1)-t^2=0\\ -t^2(t-1)^2+(t-1)^2=0\\ -t^4+2t^3-2t^2+(t-1)^2=0\\ -t^4+2t^2(t-1)+(t-1)^2=0$
Пусть t² = a,  t-1 = b (a,b≥0), тогда получаем
$-a^2+2ab+b^2=0|:b^2\\ - (\frac{a}{b} )^2+2\cdot \frac{a}{b} +1=0\\ \frac{a}{b}=z= \frac{t^2}{t-1}$
$z^2-2z-1=0\\ D=b^2-4ac=8\\ z_1=1- \sqrt{2} \\ z_2=1+ \sqrt{2}$

Буду возвращается к замене с корнем $z=1+ \sqrt{2}$
$\frac{t^2}{t-1}=1+ \sqrt{2} |\cdot (t-1)\\ t^2-(1+ \sqrt{2})t+1+ \sqrt{2}\\ D=b^2-4ac=(-1- \sqrt{2} )^2-4\cdot(1+ \sqrt{2})=-1-2 \sqrt{2} \\ t_1= \frac{-1- \sqrt{2}- \sqrt{-1+2 \sqrt{2} } }{2}$
$t_2=\frac{-1- \sqrt{2}+ \sqrt{-1+2 \sqrt{2} } }{2}$ - не удовлетворяет ОДЗ

Возвращаемся к замене
$\sin x=-1\\ x=- \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ \\ \sin x=\frac{-1- \sqrt{2}- \sqrt{-1+2 \sqrt{2} } }{2} \\ x=(-1)^k\cdot \arcsin(\frac{-1- \sqrt{2}- \sqrt{-1+2 \sqrt{2} } }{2} )+ \pi k,k \in Z$