Для доказательства данного тождества, нам понадобятся некоторые знания о свойствах биномиальных коэффициентов и биномиальной теоремы. Давайте подробно рассмотрим каждую часть задачи.
Тождество, которое нужно доказать, имеет вид:
С⁵n+3 + С⁴n+3 = С⁵n+4
Для начала, давайте напомним формулу для вычисления биномиальных коэффициентов:
Сk = k! / (n!(k-n)!)
где k! - это факториал числа k.
Теперь, давайте посмотрим на каждую часть равенства по отдельности.
Правая часть равенства, С⁵n+4 вычисляется по формуле для биномиальных коэффициентов:
С⁵n+4 = (5n+4)! / ((5n+4-n)! * n!)
Заметим, что в числителе есть факториал числа (5n+4), который можно переписать в виде произведения (5n+4) * (5n+3) * (5n+2) * ... * 1. В знаменателе также есть факториал числа (5n+4-n), который можно переписать в виде произведения ((5n+4-n) * ... * 1). Обратите внимание, что (5n+3) и (5n+4) в числителе и знаменателе будут отменяться между собой.
Теперь давайте посмотрим на левую часть равенства, С⁵n+3 + С⁴n+3:
С⁵n+3 + С⁴n+3 = (5n+3)! / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!)
Взглянув на числитель каждого биномиального коэффициента, мы можем заметить, что (5n+3)! содержит множители, которые есть в (4n+3)!, поэтому (5n+3)! можно представить в виде (5n+3) * (4n+3) * ... * 1. Обратите внимание, что (5n+3) в числителе первого слагаемого и знаменателе второго слагаемого будут отменяться между собой.
Теперь мы можем объединить две части равенства:
(5n+3)! / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!) = (5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!)
Теперь мы можем заметить, что в левой части равенства и выражении (5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) содержатся одинаковые множители. Остается только сократить множители в числителе и знаменателе и упростить выражение. Мы получим:
(5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!) = (5n+4)! / ((5n+4-n)! * n!), что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали тождество С⁵n+3 + С⁴n+3 = С⁵n+4, используя свойства биномиальных коэффициентов и выражений, содержащих факториалы чисел.
Хорошо, начнем с определения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами a и b можно найти, используя скалярное произведение векторов и их длины.
Скалярное произведение двух векторов a и b (обозначается как a · b) равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:
a · b = |a| * |b| * cos(θ),
где |a| - длина вектора a, |b| - длина вектора b, θ - угол между векторами a и b.
В данном случае нам известны значения |a|, |b| и a · b. Мы должны использовать эти значения, чтобы найти угол между векторами.
1. Сначала заметим, что |a| = 4 и |b| = 2 * √2. Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:
8 = 4 * (2 * √2) * cos(θ).
2. Теперь разрешим уравнение относительно cos(θ):
8 = 8 * √2 * cos(θ).
3. Делим обе части уравнения на 8 * √2:
1 = cos(θ).
Теперь мы знаем, что cos(θ) = 1. Угол, при котором косинус равен 1, равен 0 градусов, или 0 радиан.
Таким образом, угол между векторами a и b равен 0 градусов или 0 радиан.
Обратите внимание, что мы использовали предположение о том, что длины векторов a и b положительны и не равны нулю. Это предположение необходимо для правильного решения.
15+3=18 матрёшек стоят на столе
ответ на столе стоят всего 18 матрёшек