Question

Вокружности с центром о, аc- диаметр , хорда ав равна отрезку ов и равна 2 корень из 3. найдите площадь тр.авс .

Answer 1

Рассмотрим два треугольника: АОВ и СОВ. Площадь тр-ка АВС - сумма площадей тр-ков АОВ и СОВ.

АВ=ОВ по условию. АО, ОВ и ОС - радиусы. Следовательно, АО=ОВ=ОС=АВ = 2 корня из 3.

Из уравнения длины хорды найдём угол АОВ:

$L=2R\sin\frac{\alpha}2\\2\cdot2\sqrt3\sin\frac{\alpha}2=2\sqrt3\\2\sin\frac{\alpha}2=1\Rightarrow\sin\frac{\alpha}2=\frac12\Rightarrow\frac{\alpha}2=\frac{\pi}6\Rightarrow\alpha=\frac{\pi}3$

Тр-к АОВ - равносторонний, его площадь

$S_{AOB}=\frac{\sqrt3}4a^2=\frac{\sqrt3}4(2\sqrt3)^2=\frac{\sqrt3}4\cdot12=3\sqrt3$

Треугольник СОВ равнобедренный (ОВ=ОС), угол

$COB = 180-AOB =\pi-\frac{\pi}3=\frac{2\pi}3$ как смежные при АС.

Площадь СОВ:

$S_{COB}=\frac12a^2\sin\alpha=\frac12(2\sqrt3)^2\sin\frac{2\pi}3=\frac12\cdot12\cdot\frac{\sqrt3}2={3\sqrt3}$

Площадь ABC:

$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{COB}=3\sqrt3+3\sqrt3=6\sqrt3$