Question

Каким числом можно из 16 различных пар ботинок выбрать 10 ботинок так, чтобы они все были на одну ногу? с решением,

Answer 1

Первый ботинок можно взять

Дальше останется 15 левых и 15 правых, а выбирать можно будет только из одной группы.

2-ой можно выбрать 15-тью
3-ий можно выбрать 14-тью
4-ый можно выбрать 13-тью
5-ый можно выбрать 12-тью
6-ой можно выбрать 11-тью
7-ой можно выбрать 10-тью
8-ый можно выбрать 9-тью
9-ый можно выбрать 8-тью
10-ый можно выбрать 7-мью

Итак получаем: $32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$

Отметим, что если бы мы вложили во все пары ботинок номерные фанты (бумажки с номерами), то, скажем комбинация "1,2,3,4,5,6,7,8,9,10" и комбинация "2,1,3,4,5,6,7,8,9,10" практически бы не отличались, поскольку порядок выбранных ботинок нам не важен.

А, как известно, всего в любом наборе из 10 предметов
возможны 10! перестановок.

При подсчёте всех мы как раз сосчитали лишние неразличимые варианты, котороых в 10! раз больше, чем практически различимых.

А поэтому предварительное число вариантов нужно разделить на 10! и тогда мы получим конечное число различных вариантов:

$N = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \frac{ 32 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 } = \frac{ 32 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 }{4} = \\\\ = 8 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 8 \cdot (13+1) \cdot 13 \cdot 11 = 8 \cdot (169+13) \cdot 11 = \\\\ = 8 \cdot (182) \cdot 11 = 8 \cdot (200-20+2) \cdot 11 = (1600-160+16) \cdot 11 = \\\\ = 1456 \cdot 11 = 14 \ 560 + 1456 = 16 \ 016 \ ;$

О т в е т