Question

Найти предел функции lim (3-х) * [ln(1-х) -ln(2-x)] стремящейся к минус бесконечности. не пользуясь правилом лопиталя. важно решение, а не ответ.

Answer 1

Проблемное место мы имеем в скобке, а именно: из бесконечности вычитается бесконечность - это неопределенность. Уберем ее, затем проверим, решается ли предел или нет.

${ln(1-x)-ln(2-x) = ln(\frac{(2-x)}{(2-x)}-\frac{1}{(2-x)})=ln(1-\frac{1}{(2-x)}) = ln(1+\frac{(-1)}{(2-x)})$

Переход от двух логарифмов к одному осуществлен по свойству.

При стремлении $x$ к минус бесконечности мы имеем эквивалентность: $ln(1+x)$ эквивалентно x при стремлении $x$ к $0$, значит:

$\frac{(-1)}{(2-x)}$

Перепишем получившийся предел:
$lim((3-x)*\frac{(-1)}{(2-x)}) = lim(-\frac{(3-x)}{(2-x)})$

Вынесем $x$ за скобки:

$lim(-\frac{x*(\frac{3}{x}-1)}{x*(\frac{2}{x}-1)}) = lim(- \frac{(-1)}{(-1)})$
При стремлении $x$ к бесконечности слагаемые $\frac{3}{x}$ и $\frac{2}{x}$ будут стремиться к 0.

$lim(- \frac{(-1)}{(-1)})=-1$

ответ: -1.