ДАНО:Y(x) = -x³ + 3*x²
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-0)*(x-3)
Нули функции: Х₁ = Х₂ =0, Х₃ =3
6. Интервалы знакопостоянства.
Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;0]U[0;3]
Отрицательная - Y(x)<0 X∈[0;0]U[3;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = -3*x² + 6*x = 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ =2 Х₅=0
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(X₄= 2) =4. Минимум - Ymin(X₅ = 0) =0
11. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает Х∈(-∞;0;]U[2;+∞) ,возрастает - Х∈[0;2]
12. Вторая производная - Y"(x) = -6* x +6 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆= 1
13. Вогнутая “ложка» Х∈(-∞; Х₆ = 1]
Выпуклая – «горка» Х∈[Х₆ = 1; +∞).
14. График в приложении.
