Question

Найдите все значения параметра a при каждом из которых любое решение неравенства 4(a-3)x^2-2(2a+1)x+a> 0 принадлежит отрезку [-2,2]

Answer 1

Для того чтобы найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства принадлежит отрезку [-2,2], мы должны проанализировать условия, при которых дискриминант этого неравенства будет равен нулю.

Чтобы найти дискриминант D, мы использовать формулу D = b^2 - 4ac, где в нашем случае b = -2(2a+1), a = 4(a-3), и c = a.

Подставим значения в формулу дискриминанта:
D = (-2(2a+1))^2 - 4(4(a-3))(a)

Раскроем скобки:
D = (4a+2)^2 - 16(a-3)a

Распределим коэффициенты:
D = 16a^2 + 16a + 4 - 16a^2 + 48a

Упростим выражение:
D = 64a + 4

Теперь, чтобы найти значения параметра a, при которых дискриминант равен нулю, мы должны решить уравнение D = 0:
64a + 4 = 0

Вычтем 4 из обоих сторон уравнения:
64a = -4

Разделим обе стороны на 64:
a = -4/64

Упростим дробь:
a = -1/16

Таким образом, значение параметра a равно -1/16.

Теперь, чтобы убедиться, что неравенство выполняется на всем интервале [-2, 2] при этом значении параметра a, мы можем провести тест с помощью произвольных значений x.

Подставим a = -1/16 в исходное неравенство и упростим его:
4(a-3)x^2 - 2(2a+1)x + a > 0
4(-1/16 - 3)x^2 - 2(2(-1/16)+1)x + (-1/16) > 0
(-1/4)x^2 - (1/8)x - (1/16) > 0

Теперь мы можем проверить значения x на интервале [-2, 2].

При x = -2:
(-1/4)(-2)^2 - (1/8)(-2) - (1/16) > 0
(-1/4)(4) + (1/4) - (1/16) > 0
-1 + 1 - (1/16) > 0
0 > 0 (ложное утверждение)

При x = 0:
(-1/4)(0)^2 - (1/8)(0) - (1/16) > 0
(0) + 0 - (1/16) > 0
-1/16 > 0 (истинное утверждение)

При x = 2:
(-1/4)(2)^2 - (1/8)(2) - (1/16) > 0
(-1/4)(4) + (1/4) - (1/16) > 0
-1 + 1 - (1/16) > 0
0 > 0 (ложное утверждение)

Таким образом, мы видим, что при a = -1/16 неравенство выполняется только при x = 0.

Ответ: значение параметра a, при котором любое решение неравенства принадлежит отрезку [-2, 2], равно a = -1/16.