Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю последовательности
(1)
где - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера имеем , и поэтому , при любом целом положительном . Следовательно, среди степеней (1) числа найдется бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю .
Определение 1. Наименьшее натуральное число , для которого справедливо сравнение
(2)
называется показателем числа по модулю или показателем, которому принадлежит число по модулю и обозначается символом .
Очевидно, что. Требование является существенным.
Определение 2. Если , то называют первообразным корнем (примитивным) по модулю .
1°. Если , то числа и принадлежат по этому модулю одному и тому же показателю, то есть .
Доказательство. Пусть , . Так как , то
.
Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же показатель.
2°. Если , то .
Доказательство. Необходимость. Пусть . По теореме о делении с остатком имеем , причем . Поскольку , то . Следовательно, . А это означает, что .
Достаточность. Пусть . Тогда . Поскольку , то , то есть .
Следствие 2. Если и , то .
Следствие 3. Показатель , которому принадлежит число по модулю , является делителем числа , то есть .
3°. Если , то .
Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю произведение чисел , равен произведению показателей, которым принадлежат по модулю числа , если показатели попарно взаимно простые.
4°. Если , то .
2. Первообразные корни.
Теорема 1. Если - первообразный корень, то система - ПрСВ.
Действительно, в данной системе имеется - вычетов, они не сравнимы и взаимно просты с модулем .
Теорема 2. По любому простому модулю существует хотя бы один первообразный корень.
Доказательство. Действительно, пусть
(3)
- все различные показатели, которым по модулю принадлежат числа
. (4)
Пусть - наименьшее общее кратное этих показателей и - его каноническое разложение. Каждый множитель этого разложения делит по меньшей мере одно число ряда (3), которое, следовательно, может быть представлено в виде: . Пусть - одно из чисел ряда (4), принадлежащих показателю . Согласно свойству 4° число принадлежит показателю , согласно свойству 3° произведение принадлежит показателю . Поэтому, согласно следствия 2 свойства 2° показателей, - делитель . Но поскольку числа (3) делят , все числа (4) являются решениями сравнения ; поэтому будем иметь . Следовательно, и - первообразный корень.
Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по модулю показателю , то всего классов таких чисел будет .
Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю существует .
8+3=11 (простых множителей)
если среди простых множите
лей нет повторяющихся).
Пошаговое объяснение:
Если среди простых множите
лей есть повторения:
1. например, среди простых мно
жителей числа "а " или числа "в",
то произведения с повторения
ми записываем, используя пока
затель степени. При подсчете
общего числа простых множите
лей повторяемость не учитываем,
то есть повторяющиеся множите
ли считаем только один раз.
2. Если в разложениях чисел "а"
и "в" (в отдельности) повторений
нет, но повторяемость паявляет
ся при подсчете простых множи
телей для произведения, то все
равно считаем только РАЗЛИЧ
НЫЕ простые множители.
если нет повторений, число прост
тых множителей просто прибавля
ем;
если повторения есть, то каждый
повторяющийся множитель счита
ем только один раз.
