Question

Исследовать функцию и построить график, у=е^(1/x) - x 1. одз 2. парность 3. переодичность 4. оодз (основная область допустимых значений) 5. точки пересечения с ох, оу 6. промежутки монотонности, экстремумы 7. выпуклость 8. асимптоты 9. график

Answer 1

Функция у=е^(1/x) - x.
1. ОДЗ: х ∈ R : x ≠ 0.

2. Парность (чётность): у(х)=е^(1/x) - x,
                                     у(-х)=е^(1/(-x) + x не равно
                                     у=е^(1/x) - x.
Значит, функция не чётная и не нечётная.
3. Переодичность - не периодичная.

4. ООДЗ (основная область допустимых значений) - а чем она отличается от ОДЗ?

5. Точки пересечения с Ох, Оу:
- при пересечении с осью Ох у=0: е^(1/x) - x = 0,
х ≈ 1,76322.
- пересечения с осью у нет.

6. Промежутки монотонности, экстремумы
Производная функции равна:
y ' = - e^(1/x)/x² - 1.
При любом значении х (кроме 0) производная отрицательна.
Это значит, что функция на всей области определения убывающая.
При любом значении х (кроме 0) производная не может быть равна 0. Значит, экстремумов у функции нет.

7. Выпуклость: надо найти вторую производную.
d²/dx² = ((e^(1/x))*(2x+1))/x⁴.
При любом значении х (кроме 0) вторая производная не может быть равна 0. Значит, перегибов у функции нет.

8. Асимптоты: y = -x+1 (подробно в приложении).

9. График - в приложении.