Дана функция 1) Область определения: x ∈ R, x ≠ 3. 2) Область значений: y ∈ R, y ≤ -24, y > 0. 3) График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 2x² /(- x + 3) = 0. Решаем это уравнение. Достаточно числитель приравнять нулю. Точки пересечения с осью Ох: х = 0. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (2*x^2)/(3 - x). у = (2*0^2)/(3 - x) = 0. Точка: (0, 0). 4) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции. Первая производная равна: Достаточно числитель приравнять нулю: 2x² - 12x = 0. Решаем это уравнение: 2x(x - 6) = 0. Корни этого уравнения: х = 0 и х = 6. Значит, экстремумы в точках: (0, 0), (6, -24). 5) Интервалы возрастания и убывания функции. Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: x = -1 0 1 5 6 7 y' = -0,875 0 2,5 2,5 0 -0,875. Минимум функции в точке: х = 0. Максимум функции в точке: х = 6. Убывает на промежутках (-∞; 0), (6; +∞). Возрастает на промежутках (0; 3), (3; 6). Это с учётом того, что в точке х = 3 функция имеет разрыв. 6) Точек перегиба нет. 7) Вертикальная асимптота х = 3. Горизонтальных асимптот нет. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2)/(3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo . Значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y = -2x - 6 . Возьмём предел, значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y = -2x - 6. 8) Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: . - Нет. . - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Использовалась формула производной сложной функции f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x) Также производная суммы (или разности) равна сумме (разности) производных.
Например, во втором случае имеем разность и сложную функцию. Поэтому отдельно берём производную от икса (x)' = 1 и от косинуса, которая уже сложная функция, т.к. под синусом находится другая функция, а именно g(x) = 2x - pi/3. f(g(x)) = cos(2x - pi/3) Производная g(x) понятна g'(x) = 2, т.к. pi/3 - это константа, производная которой равна нулю, а производная показательной функции по формуле (x^n)' = n * x^(n-1) Производная от косинуса берёт без учёта аргумента, он просто переписывается. А производная от косинуса это минус синус. Вот и получилось (-sin(2x- pi/3). Перемножив производные от синуса и показательной функций, получаем результат.
(производная равна нулю),
.
.
.
.
49/9x=16/9*21/8
49/9x=14/3
x=14/3*9/49
x=42/49
x=6/7