Question

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка найти общее решение:

Answer 1

$y'x^2 = 2xy - 3 \ ;$

Решим соответствующее однородное уравнение:

$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy \ ;$

$\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x} \ ;$

$\int{ \frac{dy}{y} } = 2 \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$

$\ln{|y|} = 2 \ln{|x|} + C_1 \ ;$

$\ln{|y|} = \ln{ ( C|x|^2 ) } \ ;$

$|y| = Cx^2 \ ;$

$y = Cx^2 \ ;$

Введём вместо константы C функцию f(x):

$y = x^2 f(x) \ ;$

$y' = 2x f(x) + x^2 f'(x) \ ;$

Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение:

$x^2 ( 2x f(x) + x^2 f'(x) ) = 2x \cdot x^2 f(x) - 3 \ ;$

$2x^3 f(x) + x^4 f'(x) = 2x^3 f(x) - 3 \ ;$

$x^4 f'(x) = - 3 \ ;$

$f'(x) = - \frac{3}{x^4} \ ;$

$f(x) = \int{ f'(x) } \, dx = - \int{ \frac{3}{x^4} } \, dx = - \int{ 3x^{-4} } \, dx = x^{-3} + C = \frac{1}{x^3} + C \ ;$

Тогда общим решением исходного
неоднородного дифференциального уравнения будет:

$y = x^2 f(x) = x^2 ( \frac{1}{x^3} + C ) = \frac{1}{x} + Cx^2 \ ;$

О т в е т :    $y = \frac{1}{x} + Cx^2 \ .$