Question

Правила лопиталя вычислить

Answer 1

e^(-0,5)

Пошаговое объяснение:

Нужно перевести степень в дробь.

$(cos(x))^{ctg^2(x)}=e^{ln{(cos(x))^{ctg^2(x)}}}=e^{ctg^2(x)*ln(cos(x))}=e^{\frac{cos^2(x)ln(cos(x))}{sin^2(x)} }$

Теперь по теореме Лопиталя, предел дроби из функций равен пределу дроби из производных этих функций.

$\lim_{x \to 0} e^{\frac{cos^2(x)ln(cos(x))}{sin^2(x)} }=e^{ \lim_{x \to 0} \frac{cos^2(x)ln(cos(x))}{sin^2(x)} }$

Берем производные от числителя

$(cos^2(x)ln(cos(x)))'=2cos(x)(-sin(x))ln(cos(x))+cos^2(x)*\frac{1}{cos(x)}*(-sin(x))\\ =-sin(2x)ln(cos(x))-0,5sin(2x)=-sin(2x)*(ln(cos(x))+0,5)$

и от знаменателя

$(sin^2(x))'=2sin(x)cos(x)=sin(2x)$

Получаем

$e^{ \lim_{x \to 0} \frac{-sin(2x)*(ln(cos(x))+0,5)}{sin(2x)} }=e^{ \lim_{x \to 0}(-ln(cos(x))-0,5) }=e^{-ln1-0,5}=e^{-0,5}$