Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: 
Требуется доказать, что 
Предположим противное, то есть что 
По условию 
При этом 
Идем по цепочке дальше. По условию 
, при этом 
. Продолжая этот процесс, получаем 
Суммируя, получаем 
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
5/8у - 2у = -2 2/5 + 3/4
- 1 3/8у = -12/5 + 3/4
-1 3/8у = - 33/20
у = 33/20 : 11/8 = 33/20 * 8/11
у =6/5 = 1 1/5