Question

√3 sinx- cosx=-1 указать корни принадлежащие промежутку(-п,-п/2) решить полностью и всё обосновать,каждую деталь

Answer 1

$\sqrt3sinx-cosx=-1\; |:2\\\\\frac{\sqrt3}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx=-\frac{1}{2}\\\\\frac{\sqrt3}{2}=cos\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}=sin\frac{\pi}{6}\\\\cos\frac{\pi}{6}\cdot sinx-sin\frac{\pi}{6}\cdot cosx=-\frac{1}{2}\\\\sin(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\\\\x-\frac{\pi}{6}=(-1)^{n}\cdot arcsin(-\frac{1}{2})+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}+(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}+(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}\cdot (1+(-1)^{n+1})+\pi n,\; n\in Z$

$x= \left [ {{\frac{\pi}{3}+\pi n,\; esli\; n=2k-1(nechetnoe)} \atop {\pi n,\; esli\; n=2k\; (chetnoe)}} \right. \\\\x\in (-\pi,-\frac{\pi}{2}):\quad x=-\frac{5\pi}{6}$