Question

При каких а уравнение cos2x+2cosx-2a^2 -2a+1=0 имеет одно решение на промежутке,закрытом слева от 0 до2пи. чему равна сумма найденных решений?

Answer 1

Cos²x-(1-cos²x)+2cosx-2a²-2a+1=0
y=cosx
y²+y-a²-a=0
y=(-1+-√(1+4a²+4a))/2= (-1+-(2a+1)/2
при а =-1/2   y=-1/2-одно решение
cosx=-1/2
x=2/3*pi=120 °

Answer 2

Чтобы найти решение уравнения, мы сначала должны решить его. Заметим, что уравнение является квадратным относительно переменной cos(x) и имеет вид:

cos^2(x) + 2 cos(x) - 2a^2 - 2a + 1 = 0.

Для удобства, введем обозначение t = cos(x). Тогда уравнение станет:

t^2 + 2t - 2a^2 - 2a + 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно переменной t. Чтобы найти его решения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

В данном случае, a = 1, b = 2, c = -2a^2 - 2a + 1. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = 2^2 - 4 * 1 * (-2a^2 - 2a + 1) = 4 + 8a^2 + 8a - 4 = 8a^2 + 8a.

Теперь выясним, при каких значениях a дискриминант D равен нулю.

D = 0
8a^2 + 8a = 0.

Разделим обе части уравнения на 8:

a^2 + a = 0.

Факторизуем левую часть уравнения:

a(a + 1) = 0.

Теперь у нас есть два возможных значения a, при которых D равно нулю: a = 0 и a = -1.

Для каждого найденного значения a мы можем найти соответствующее значение t с помощью решения уравнения t^2 + 2t - 2a^2 - 2a + 1 = 0.

Для a = 0, подставляем значение в уравнение:

t^2 + 2t - 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0,
t^2 + 2t + 1 = 0,
(t + 1)^2 = 0.

Решением этого уравнения является t = -1.

Теперь найдем решение уравнения для a = -1:

t^2 + 2t - 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 0,
t^2 + 2t + 3 = 0.

К сожалению, это квадратное уравнение не имеет рациональных решений, но мы можем найти его дискриминант, чтобы узнать, сколько решений у него есть.

D = 2^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных решений на промежутке от 0 до 2π.

Итак, нашли два значения a, при которых уравнение имеет рациональное решение, а именно a = 0 и a = -1.

Теперь найдем сумму найденных решений.

Для a = 0, найденное решение t = -1.

Для a = -1, у уравнения нет рациональных решений.

Следовательно, сумма найденных решений равна -1.