Объясните решение, оно уже дано 1000-значное число без нулей в записи. докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500. (с. берлов) решение. будем вычеркивать в конце ноль, одну, две, три, 499 цифр. если всё время получаются степени чисел, меньших 500, то основания каких-то двух из них совпали. пусть это будут ax и ay (x < y). умножим число ax на степень десятки так, чтобы в его записи стало столько же знаков, сколько в записи ay, и вычтем результат из ay. разность будет натуральным числом, делящимся на ax. но в нём будет не более 499 цифр, а в ax — не менее 501 цифры. противоречие.
Товарный поезд до выхода пассажирского едет 1 час, за это время он проедет 60·1=60 км. Скорость, с которой пассажирский поезд догоняет товарный, будет 90-60=30 км/ч. Пассажирский поезд догонит товарный через 60/30 = 2 часа. За это время пассажирский поезд проедет от станции А до встречи с товарным поездом 90·2=180 км.Товарный поезд проедет весь путь за 210/60 = 3 1/2 ч = 3 ч 30 мин. Пассажирский поезд проедет весь путь за 210/90 = 2 1/3 ч = 2 ч 20 мин. Следовательно, пассажирский поезд будет в пути меньше товарного на 7/2 - 7/3 = 1 1/6 ч = 1 ч 10 мин. Но товарный поезд, уже ехал в течение 1 часа, прежде чем отправился пассажирский поезд. Значит, пассажирский поезд прибудет раньше товарного на 1 1/6 - 1 = 1/6 ч = 10 мин.